פקטור פולינום: מקרים ודוגמאות

הפירוק לגורמים של פולינומים מורכב משיטות שפותחו לשכתב פולינום כמכפלה בין פולינומים. כתוב את הפולינום בתור כֶּפֶל בין שני גורמים או יותר עוזר בפישוט ביטויים אלגבריים והבנת פולינום.

ישנם מקרים שונים של פקטורינג, ולכל אחד מהם יש טכניקות ספציפיות.. המקרים הקיימים הם: פירוק לפי גורם משותף בראיות, פירוק לפי קיבוץ, הבדל בין שני ריבועים, טרינום ריבועי מושלם, סכום שתי קוביות והפרש של שתי קוביות.

קרא עוד:מה זה פולינום?

סיכום על פירוק פולינומים

• פקטוריזציה של פולינומים הן טכניקות המשמשות לייצוג הפולינום כמכפלה בין פולינומים.

• אנו משתמשים בפירוק זה כדי לפשט ביטויים אלגבריים.

• מקרי הפקטורינג הם:

  • פקטורינג לפי גורם משותף בראיות;

  • פקטורינג לפי קיבוץ;

  • טרינום ריבועי מושלם;

  • הבדל של שני ריבועים;

  • סכום של שתי קוביות;

  • הבדל של שתי קוביות.

מקרים של פקטור פולינום

כדי לגרור פולינום, יש צורך לנתח באיזה ממקרי הפקטורינג המצב מתאים, היות: פירוק לפי גורם משותף בראיות, פירוק לפי קיבוץ, הבדל בין שני ריבועים, טרינום ריבועי מושלם, סכום שתי קוביות והפרש של שתי קוביות. בואו נראה כיצד לבצע את הפירוק לגורמים בכל אחד מהם.

• גורם משותף בראיות

אנו משתמשים בשיטת הפקטורינג הזו כאשר יש גורם משותף לכל האיברים של הפולינום

. גורם משותף זה יודגש כגורם אחד, והגורם השני, תוצאה של חֲלוּקָה של המונחים על ידי אותו גורם משותף, ימוקם בתוך הסוגריים.

דוגמה 1:

20xy + 12x² + 8xy²

בניתוח כל איבר של פולינום זה, ניתן לראות ש-x חוזר על עצמו בכל האיברים. כמו כן, כל המקדמים (20, 12 ו-8) הם כפולות של 4, כך שהגורם המשותף לכל האיברים הוא פי 4.

מחלקים כל איבר בגורם המשותף, יש לנו:

20xy: 4x = 5y

12x²: 4x = 3x

8xy²: 4x = 2y²

כעת, נכתוב את הפירוק לגורמים תוך מתן הגורם המשותף לראיות ואת סְכוּם מהתוצאות שנמצאו בסוגריים:

4x (5y + 3x + 2y²)

דוגמה 2:

2a²b² + 3a³b – 4a⁵b³

בניתוח החלק המילולי של כל איבר, ניתן לראות ש-a²b חוזר על עצמו בכולם. שימו לב שאין מספר שמחלק 2, 3 ו-4 בו-זמנית. אז הגורם המשותף יהיה רק ​​a²b.

2a²b²: a²b = 2b

3a³b: a²b = 3a

הרביעי⁵b³: a²b = 4a³

לפיכך, הפירוק לגורמים של פולינום זה יהיה:

a²b (2b + 3a + 4a³)

ראה גם: חיבור, חיסור וכפל של פולינומים - הבן כיצד הם נעשים

• הַקבָּצָה

שיטה זו היא משמש כאשר אין גורם משותף לכל האיברים של הפולינום. במקרה זה, אנו מזהים מונחים שניתן לקבץ בעלי גורם משותף ומדגישים אותם.

דוגמא:

חשב את הפולינום הבא:

ax + 4b + bx + 4a

נקבץ את המונחים שיש להם a ו-b כגורם משותף:

ax + 4a + bx + 4b

אם שמים את a ו-b כראיה במונחים של שניים על שניים, יש לנו:

a(x+4)+b(x+4)

שימו לב שבתוך הסוגריים הגורמים זהים, אז נוכל לכתוב מחדש את הפולינום הזה כ:

(a + b) (x + 4)

• טרינום ריבועי מושלם

טרינומים הם פולינומים עם 3 איברים. פולינום ידוע בתור טרינום ריבועי מושלם כשהוא כן תוצאה בריבוע סכום או הפרש בריבוע, זה:

a² + 2ab + b² = (a + b) ²

a² – 2ab + b² = (a – b) ²

חָשׁוּב: לא בכל פעם שיש שלושה איברים הפולינום הזה יהיה טרינום ריבועי מושלם. לכן, לפני ביצוע הפירוק לגורמים, יש לוודא אם הטרינום מתאים במקרה זה.

דוגמא:

גורם, אם אפשר, את הפולינום

x² + 10x + 25

לאחר ניתוח הטרינום הזה, נחלץ את ה שורש ריבועי קדנציה ראשונה ואחרונה:

\(\sqrt{x^2}=x\)

\(\sqrt{25}=5\)

חשוב לוודא שהמונח המרכזי, כלומר 10x, שווה ל \(2\cdot\ x\cdot5\). שימו לב שזה אכן אותו דבר. אז זהו טרינום מרובע מושלם, שניתן לחשב אותו על ידי:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

• הבדל של שני ריבועים

כאשר יש לנו הבדל של שני ריבועים, אנו יכולים לחשב את הפולינום הזה על ידי כתיבה מחדש של המכפלה של הסכום וההפרש.

דוגמא:

חשב את הפולינום:

4x² – 36y²

ראשית, נחשב את השורש הריבועי של כל אחד מהמונחים שלו:

\(\sqrt{4x^2}=2x\)

\(\sqrt{36y^2}=6y\)

כעת, נכתוב מחדש את הפולינום הזה כמכפלת הסכום וההפרש של השורשים שנמצאו:

4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)

קראו גם: חישוב אלגברי הכולל מונומיאלים - למד כיצד מתרחשות ארבע הפעולות

• סכום של שתי קוביות

הסכום של שתי קוביות, כלומר, a³ + b³, ניתן לחשב כ:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

דוגמא:

חשב את הפולינום:

x³ + 8

אנחנו יודעים ש-8 = 2³, אז:

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)

• הבדל של שתי קוביות

ההבדל בין שתי קוביות, כלומר, a³ – b³, לא בניגוד לסכום של שתי קוביות, ניתן לחשב אותו כ:

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

דוגמא:

קחו בחשבון את הפולינום

8x³ - 27

אנחנו יודעים את זה:

8x³ = (2x) ³

27 = 3³

אז אנחנו צריכים:

\(8x^3-27=\left (2x-3\right)\)

\(8x^3-27=\left (2x-3\right)\left (4x^2+6x+9\right)\)

פתרו תרגילים בנושא הפקת פולינומים

שאלה 1

שימוש בפקטוריזציה פולינומית כדי לפשט את הביטוי האלגברי \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), אנחנו נמצא:

א) x + 2

ב) x - 2

Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)

ד) \(\frac{x+2}{x-2}\)

E) (x - 2) (x + 2)

פתרון הבעיה:

חלופה D

בהסתכלות על המונה, אנו רואים ש-x² + 4x + 4 הוא מקרה של טרינום ריבועי מושלם וניתן לשכתב אותו כך:

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

המונה x² – 4 הוא ההפרש של שני ריבועים וניתן לשכתב אותו כך:

x² - 4 = (x + 2) (x - 2)

לָכֵן:

\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)

שימו לב שהמונח x + 2 מופיע גם במונה וגם במכנה, ולכן הפישוט שלו ניתן על ידי:

\(\frac{x+2}{x-2}\)

שאלה 2

(מכון יוניפיל) בהתחשב בכך ששני מספרים, x ו-y, הם כאלה ש-x + y = 9 ו-x² – y² = 27, הערך של x שווה ל:

א) 4

ב) 5

ג) 6

ד) 7

פתרון הבעיה:

חלופה C

שימו לב ש-x² – y² הוא ההפרש בין שני ריבועים וניתן לחשב אותו כמכפלת הסכום וההפרש:

x² – y² = (x + y) (x – y)

אנו יודעים ש-x + y = 9:

(x + y) (x - y) = 27

9 (x - y) = 27

x - y = 27: 9

x - y = 3

אז נוכל להגדיר א מערכת משוואות:

הוספת שתי השורות:

2x + 0 y = 12

2x = 12

x = \(\frac{12}{2}\)

x = 6

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm