למד עם 11 התרגילים על כפל מטריצה, כולם ברזולוציה שלב אחר שלב כדי שתוכל לפתור את הספקות שלך ולהצליח בבחינות ובבחינות הכניסה.
שאלה 1
בהינתן המטריצות הבאות, סמן את האפשרות שמציינת רק מוצרים אפשריים.
א) C.A, B.A, A.D.
ב) ד"ב, ד"כ, א.ד.
ג) AC, D.A, C.D.
ד) B.A, A.B, D.C
ה) א.ד., ד.כ., סי.א.
תשובה נכונה: ג) AC, D.A, C.D
A.C אפשרי מכיוון שמספר העמודות ב-A (1) שווה למספר השורות ב-C (1).
D.A אפשרי, מכיוון שמספר העמודות ב-D (2) שווה למספר השורות ב-A (2).
C.D אפשרי מכיוון שמספר העמודות ב-C (3) שווה למספר השורות ב-D (3).
שאלה 2
צור מוצר מטריצה א'. ב.
ראשית עלינו לבדוק האם ניתן לבצע את הכפל.
מכיוון ש-A היא מטריצה 2x3 ו-B מטריצה 3x2, אפשר להכפיל, שכן מספר העמודות ב-A שווה למספר השורות ב-B.
בדקנו את מידות המטריצה הנובעת מהכפל.
קורא למטריצת התוצאה של מוצר A. B של מטריצה C, יהיו לזה שתי שורות ושתי עמודות. זכור שמטריצת התוצאה של המוצר "יורשת" את מספר השורות מהראשונה ואת מספר העמודות מהשנייה.
לכן, מטריצה C תהיה מסוג 2x2. בניית המטריצה הגנרית C, יש לנו:
C =
כדי לחשב את c11, נכפיל את שורה ראשונה של א בשביל ה טור ראשון של ב, הוספת המונחים המוכפלים.
c11 = 3.1 + (-2).0 + 1.4 = 3 + 0 + 4 = 7
כדי לחשב c12, נכפיל את שורה ראשונה של א בשביל ה טור שני של ב, הוספת המונחים המוכפלים.
c12 = 3.3 + (-2).(-5) + 1.1 = 9 + 10 + 1 = 20
כדי לחשב c21, נכפיל את שורה שנייה של א בשביל ה העמודה הראשונה של ב, הוספת האיברים המוכפלים.
c21 = 1.1 + 5.0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
כדי לחשב c22, נכפיל את שורה שנייה של א בשביל ה טור שני של ב, הוספת המונחים המוכפלים.
c22 = 1.3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
כתיבת מטריצה C עם המונחים שלה.
C =
שאלה 3
פתרו את משוואת המטריצה וקבעו את הערכים של x ו-y.
וידאנו שאפשר להכפיל את המטריצות לפני שוויון, שכן הן מסוג 2x2 ו-2x1, כלומר, מספר העמודות בראשון שווה למספר השורות בשני. התוצאה היא מטריצת 2x1 בצד ימין של השוויון.
נכפיל את שורה 1 של המטריצה הראשונה בעמודה 1 של המטריצה השנייה ושווה ל-3.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (משוואה I)
נכפיל את שורה 2 של המטריצה הראשונה בעמודה 1 של המטריצה השנייה ושווה ל-4.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (משוואה II)
יש לנו שתי משוואות ושני לא ידועים ואנחנו יכולים לפתור מערכת לקביעת x ו-y.
מכפילים את שני הצדדים של משוואה I ב-4 ומוסיפים את I + II, יש לנו:
החלפת y במשוואה I ופתירת x, יש לנו:
אז יש לנו
שאלה 4
בהינתן המערכת הליניארית הבאה, שייך משוואת מטריצה.
יש שלוש משוואות ושלושה לא ידועים.
כדי לשייך משוואת מטריצה למערכת, עלינו לכתוב שלוש מטריצות: המקדמים, הלא ידועים והאיברים הבלתי תלויים.
מטריצת מקדמים
מטריצה לא ידועה
מטריצה של מונחים עצמאיים
משוואת מטריצה
מטריצה של מקדמים. מטריצת לא ידועים = מטריצת מונחים עצמאיים
שאלה 5
(UDESC 2019)
בהינתן המטריצות 
ובידיעה שא. B = C, אז הערך של x + y שווה ל:
א) 1/10
ב) 33
ג) 47
ד) 1/20
ה) 11
תשובה נכונה: ג) 47
כדי לקבוע את הערכים של x ו-y, אנו פותרים את משוואת המטריצה על ידי קבלת מערכת. בעת פתרון המערכת, אנו מקבלים את הערכים של x ו-y.
הכפלת המטריצות:
בידוד x במשוואה I
החלפת x במשוואה II
התאמת המכנים
כדי לקבוע את x, נחליף את y במשוואה II
לכן,
x + y = 19 + 18
x + y = 47
שאלה 6
(FGV 2016) בהינתן המטריצה 
ולדעת שהמטריקס 
היא המטריצה ההפוכה של מטריצה A, נוכל להסיק שמטריצה X, העומדת במשוואת המטריצה AX = B, כוללת כסכום היסודות את המספר
א) 14
ב) 13
ג) 15
ד) 12
ה) 16
תשובה נכונה: ב) 13
כל מטריצה כפולה בהיפוך שלה שווה למטריצת הזהות In.
הכפלת שני הצדדים של המשוואה AX = B ב .
יצירת המוצר בצד ימין של המשוואה.
כיצד מטריצת הזהות היא המרכיב הנייטרלי של תוצר המטריצה
לפיכך, סכום המרכיבים שלו הוא:
10 + 3 = 13
שאלה 7
בהינתן המטריצה שלאחר מטריצה A, חשב את המטריצה ההפוכה שלה, אם קיימת.
A הוא הפיך, או הפיך אם יש מטריצה מרובעת באותו סדר, שכאשר מכפילים או מכפילים אותה ב-A, מביאים למטריצת הזהות.
אנו מתכוונים לזהות את קיומה, או לא, של מטריצה בשביל מה:
מכיוון ש-A היא מטריצה מרובעת בסדר 2, חייב להיות גם הזמנה 2.
בואו נכתוב את המטריצה ההפוכה עם ערכיה כבלתי ידועים.
כתיבת משוואת המטריצה ופתרון התוצר.
השוואת המונחים השווים משני הצדדים של השוויון.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
יש לנו מערכת עם ארבע משוואות וארבעה לא ידועים. במקרה זה, נוכל לפצל את המערכת לשניים. כל אחד עם שתי משוואות ושני לא ידועים.
פתרון המערכת
בידוד a במשוואה הראשונה
החלפת a במשוואה השנייה.
מחליף ג
והמערכת:
בידוד b במשוואה הראשונה
החלפת b במשוואה השנייה
החלפת ד כדי לקבוע ב.
החלפת הערכים שנקבעו במטריצה לא ידועה הפוכה
בודקים אם המטריצה המחושבת היא, למעשה, המטריצה ההפוכה של A.
לשם כך עלינו לבצע את הכפלות.
לכן, שברים ניתנים להפיכה.
שאלה 8
(EsPCEx 2020) היו המטריצות . אם AB=C, אז x+y+z שווה ל
א) -2.
ב) -1.
ג) 0.
ד) 1.
ה) 2.
תשובה נכונה: ה) 2.
כדי לקבוע את הבלתי ידועים x, y ו-z, עלינו לבצע את משוואת המטריצה. כתוצאה מכך, תהיה לנו מערכת לינארית של שלוש משוואות ושלושה לא ידועים. בעת פתרון המערכת, אנו קובעים את x, y ו-z.
לפי שוויון המטריצות, יש לנו:
הוספת משוואות I ו-III
אז x = -4/2 = -2
החלפת x = -2 במשוואה I ובידוד z.
החלפת הערכים של x ו-z במשוואה II.
החלפת הערכים של x ו-y במשוואה I, יש לנו:
לפיכך, עלינו:
לכן, סכום הבלתי ידועים שווה ל-2.
שאלה 9
(PM-ES) לגבי כפל מטריצה, פביאנה כתבה את המשפטים הבאים במחברת שלה:
מה שפביאנה אומרת נכון:
א) רק ב-I.
ב) רק ב-II.
ג) רק ב-III.
ד) רק בא' ובג'.
ה) רק ב-I ו-IV
תשובה נכונה: ה) רק ב-I ו-IV
אפשר להכפיל מטריצות רק כאשר מספר העמודות בראשון שווה למספר השורות בשני.
לכן, המשפט השלישי כבר נמחק.
למטריצה C תהיה מספר השורות של A ומספר העמודות של B.
לפיכך, המשפטים I ו-IV נכונים.
שאלה 10
בהינתן מטריצה A, קבע .
שלב 1: קבע .
שלב 2: קבע את המטריצה המוטרפת .
אנו מקבלים את המטריצה המוטרפת של A על ידי החלפה מסודרת של השורות עבור העמודות.
שלב 3: פתרו את תוצר המטריצה .
לכן, התוצאה של תוצר המטריצה היא:
שאלה 11
(UNICAMP 2018) ה ו ב מספרים ממשיים כך המטריצה עונה על המשוואה
, על מה אני היא מטריצת הזהות סדר 2. לכן, המוצר אב זה אותו דבר כמו
א) -2.
ב) -1.
ג) 1.
ד) 2.
תשובה נכונה: א) -2.
שלב 1: קבע .
שלב 2: קבע א. ה.
שלב 3: קבע ב. אני, שבו אני הוא מטריצת הזהות.
שלב 4: הוסף aA + bI.
שלב 5: התאם את המונחים המתאימים ב.
שלב 6: פתור את המערכת על ידי בידוד a במשוואה I.
החלפה במשוואה II.
החלפת הערך של ב
שלב 7: בצע את הכפל a.b.
ללמוד עוד על כפל מטריקס.
אולי יעניין אותך:
מטריצות - תרגילים
מטריצות
מטריצות ודטרמיננטים
סוגי מטריצות
