אנו יודעים שהמסלולים של כוכבי הלכת הם אליפטיים, עם זאת, עבור ה ניכוי של החוק השלישי של קפלר, בואו נשקול מסלול מעגלי. למרות שההדגמה הבאה מבוססת על מסלולים מעגליים, התוצאות תקפות גם למסלולים אליפטיים.
באיור יש לנו כוכב לכת המקיף את השמש. הכוח הצנטריפטלי (Fc) הוא כוח משיכה של השמש. כוחות המשיכה המופעלים בין כוכבי לכת ולוויינים מוזנחים, זאת בשל העובדה שהמסות שלהם קטנות בהרבה ממסת השמש.
כמו כוכב המסה (M) מסתובב סביב השמש, בתנועה מעגלית ובמהירות זוויתית ( ), הכוח המתקבל על כוכב הלכת, הנקרא כוח צנטריפטלי (Fc), ניתן על ידי:
וç=mω2 ר
על מה:
וç:כוח צנטריפטלי;
m: מסת כוכב הלכת;
ω: מהירות זוויתית של כוכב הלכת;
r: רדיוס מסלול כוכב הלכת.
מהירות הזווית ניתנת על ידי:
על מה:
T: תקופה של מהפכה על הפלנטה.
החלפת משוואה 2 במשוואה 1, יש לנו:
שימו לב שהכוח הצנטריפטלי הוא כוח המשיכה בין השמש לכוכב הלכת. לפיכך, בהתחשב במסה של השמש כ-(M) וברדיוס המסלול של כוכב הלכת כ-(r), שהוא המרחק בין השמש לכוכב הלכת, ניתן לכתוב את חוק הכבידה האוניברסלית באופן הבא:
על מה:
משווה משוואה 3 ל-4, יהיה לנו:
בקרוב:
הסתכלו על משוואה 5 ושימו לב שהמונח
הוא קבוע, מכיוון שהלא ידועים מתייחסים לקבוע האוניברסלי ולמסה של השמש, כך ניתן לשכתב את המשוואה באופן הבא:
ט2=kr3
על מה:
k: קבוע מידתיות.
משוואה 6 אומרת לנו שהריבוע של תקופת הסיבוב של כוכב לכת סביב השמש עומד ביחס ישר לקוביית המרחק ביניהם.
לפי המשוואה שלמעלה נוכל להסיק את המסקנה שככל שכוכב הלכת רחוק יותר מהשמש, כך תקופת המהפכה שלו ארוכה יותר.
החוק השלישי של קפלר, שזה עתה הסקנו, תקף גם ביחס לכדור הארץ לתנועת הירח ולוויינים מלאכותיים.
מאת נתן אוגוסטו
בוגר בפיזיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm
