פרמוטציה היא טכניקת ספירה המשמשת כדי לקבוע כמה דרכים יש להזמין את האלמנטים של קבוצה סופית. לערוך חילופי דברים זה לבצע חילופי, ובבעיות קומבינטוריות זה אומר להחליף את האלמנטים של המקום, בהתחשב בסדר שלהם.
טכניקות אלה הן חלק מתחום המתמטיקה הנקרא ניתוח קומבינטורי, שמטרתו להכיר ולספור את הדרכים השונות לארגון קבוצות ואלמנטים שלהן. תמורה פשוטה ועם אלמנטים חוזרים ומתייחסים לקטגוריה זו של בעיות.
תמורה פשוטה
תמורה פשוטה היא סידור האלמנטים של קבוצה סופית, כאשר שלהם אלמנטים אינם חוזרים, מובחנים. הוא משמש לקביעת הכמות מסוג זה.
הכמות של תמורות של קבוצה של n אלמנטים שווה ל- n! (קורא n פקטוריאל).
הנוסחה לקביעת מספר התמורות הפשוטות היא
שקול סט עם אלמנטים n. כדי לארגן אותם בתור, עלינו לבחור את הראשון ולשם כך יש לנו n אפשרויות. כדי לבחור את השנייה יש לנו (n-1) אפשרויות, אחת פחות, מכיוון שכבר השתמשנו באופציה בבחירת הראשונה. תהליך זה נמשך עד שנשאר רק אלמנט אחד.
כדי לקבוע את מספר התמורות הכולל, אנו מכפילים את מספר האפשרויות הקיימות בבחירת כל אלמנט. לכן:
הביטוי שלמעלה נקרא פקטוריאל של n ואנחנו משתמשים בסמל לא!.
למידע נוסף על מפעל פה.
דוגמא:
הדרכים השונות לארגן את אותיות המילה נקראות אנגרמות. כמה אנגרמות יש למילה DUCK?
אלה האפשרויות:
לכן, מכיוון שלמילה PATO יש 4 אותיות, עלינו לעשות זאת
אז יש 24 תמורות פשוטות למילה DUCK.
תרגילי תמורה פשוטים
שאלה 1
חשב את הערך של .
שאלה 2
קחו בחשבון תור של כל הקודם זוכה, של אנשים שבהם, בכל זמן נתון, ישנם שישה אנשים. כמה דרכים שונות ניתן לדירוג האנשים האלה מהראשון לאחרון?
כל טופס הזמנה הוא תמורה פשוטה, מכיוון שאנשים הם ייחודיים ואינם חוזרים על עצמם. אז, עם שישה אנשים, התשובה היא תמורה עם 6 אלמנטים.
שאלה 3
שקול את המילה FORK וענה על השאלות הבאות?
א) כמה הם האנגרמות של המילה FORK?
מכיוון שהאותיות אינן חוזרות על עצמן מדובר במקרה חלופי פשוט של 5 אלמנטים.
ב) כמה אנגרמות מתחילות באות A?
במקרה זה, אנו מתקנים את האות A בהתחלה ומחושבים את התמורות באותיות GRFO שהן תמורות של 4 אלמנטים.
אפשרות אחת לאות A x .
ג) כמה אנגרמות יש אם התנועות תמיד צמודות זו לזו?
אפשרות אחת תהיה G R F A O.
ישנן שלוש דרכים להזמין את העיצורים. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
ישנן שתי דרכים להזמין את התנועות. P2 = 2 x 1 = 2
יש עדיין שתי דרכים נוספות לארגן את הקבוצות (עיצורים ותנועות) ביניהן. P2 = 2 x 1 = 2
עכשיו פשוט להכפיל את התוצאות.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
אז יש 24 אנגרמות שבהן התנועות תמיד ביחד.
תמורה עם חזרה
תמורה עם אלמנטים חוזרים ומתרחשת כאשר במערך של n אלמנטים, חלקם שווים.
בנוסחה לקביעת מספר התמורות עם חזרה, אנו מחלקים את הפקטוריון של המספר הכולל של n אלמנטים בתוצר של הפקטוריונים של האלמנטים החוזרים על עצמם.
הוא מספר התמורות של n אלמנטים.
זה מספר האלמנטים מכל סוג שחוזרים על עצמם.
הוא הפקטוריון של מספר האלמנטים הכולל n.
דוגמאות
בואו נקבע כמה תמורות יש למילה EGG. כדי להקל, בואו נצבע את האותיות. בואו נסתכל על האנגרמות של המילה EGG.
מספר התמורות הפשוטות עם 3 אלמנטים ניתן על ידי
עם זאת, כמה תמורות חוזרות על עצמן ואיננו יכולים לספור אותן פעמיים. לשם כך עלינו לחלק את הערך של (כי המילה כוללת שלוש אותיות), מאת
(כי האות O חוזרת על עצמה פעמיים).
לפיכך, מספר התמורות לאותיות המילה OVO שווה ל- 3.
בואו נסתכל על הדוגמה הנוספת הזו בה נגדיר את מספר התמורות לאותיות המילה BANANA.
איפה:
פירושו תמורה עם 6 אלמנטים שבהם חוזרות על האותיות A ו- N.
3! כי האות א חוזרת על עצמה שלוש פעמים.
2! כי האות N חוזרת על עצמה פעמיים.
טיפ להקל על החישוב הוא פיתוח ה- 6! עד שתגיע ל -3!, מפשט עם המכנה. ראה את ההתפתחות.
לפיכך, מספר התמורות לאותיות במילה BANANA שווה ל 60.
אולי אתה מעוניין בתכנים אלה בניתוח קומבינטורי:
ניתוח קומבינטורי
תרגילים על ניתוח קומבינטורי
