חישוב פונקציות ריבועיות

ה פונקציה ריבועית, המכונה גם תפקוד פולינומי מדרגה 2, היא פונקציה המיוצגת על ידי הביטוי הבא:

f (x) = גרזן² + bx + c

איפה ה, ב ו ç הם מספרים אמיתיים ו ה ≠ 0.

דוגמא:

f (x) = 2x² + 3x + 5,

להיות,

a = 2
b = 3
c = 5

במקרה זה, הפונקציה הריבועית פולינום היא של דרגה 2, שכן היא המעריך הגדול ביותר של המשתנה.

כיצד לפתור פונקציה ריבועית?

בדוק את צעד אחר צעד באמצעות דוגמה לפתרון הפונקציה הריבועית:

דוגמא

מצא את a, b ו- c בפונקציה הריבועית הניתנת על ידי: f (x) = ax² + bx + c, להיות:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

ראשית, בואו נחליף את ה- איקס לפי הערכים של כל פונקציה וכך יהיה לנו:

f (-1) = 8
עד 1)² + b (-1) + c = 8
a - b + c = 8 (משוואה I)

f (0) = 4
ה. 0² + ב. 0 + c = 4
c = 4 (משוואה II)

f (2) = 2
ה. 2² + ב. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (משוואה III)

לפי הפונקציה השנייה f (0) = 4, כבר יש לנו את הערך c = 4.

אז בואו נחליף את הערך שהושג ב- ç במשוואות I ו- III לקביעת האלמונים האחרים (ה ו ב):

(משוואה I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

מכיוון שיש לנו את המשוואה של ה על ידי משוואה I, נחליף ב- III לקביעת הערך של ב:

(משוואה III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

לבסוף, כדי למצוא את הערך של ה אנו מחליפים את הערכים של ב ו ç שכבר נמצאו. בקרוב:

(משוואה I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

לפיכך, המקדמים של הפונקציה הריבועית הנתונה הם:

a = 1
b = - 3
c = 4

שורשי פונקציה

השורשים או האפסים של פונקציית המעלה השנייה מייצגים את הערכים של x כך ש- (x) = 0. שורשי הפונקציה נקבעים על ידי פתרון משוואת התואר השני:

f (x) = גרזן² + bx + c = 0

כדי לפתור את משוואת התואר השני נוכל להשתמש בכמה שיטות, אחת המשמשות ביותר היא יישום ה- נוסחת בהאסקרהכלומר:

דוגמא

מצא את האפסים של הפונקציה f (x) = x² - פי 5 + 6.

פִּתָרוֹן:

להיות
a = 1
b = - 5
c = 6

החלפת ערכים אלה בנוסחה של בהאסקרה, יש לנו:

אז השורשים הם 2 ו -3.

שים לב שמספר השורשים של פונקציה ריבועית יהיה תלוי בערך המתקבל על ידי הביטוי: Δ = ב² – 4. לִפנֵי הַסְפִירָה, אשר נקרא המפלה.

לכן,

• אם Δ > 0, לפונקציה יהיו שני שורשים אמיתיים ומובהקים (x₁ ≠ x₂);
• אם Δ, לפונקציה לא יהיה שורש אמיתי;
• אם Δ = 0, לפונקציה יהיו שני שורשים אמיתיים ושווים (x₁ = x₂).

גרף של הפונקציה הריבועית

הגרף של פונקציות תואר שני הם עקומות המכונות פרבולות. שונה מ פונקציות לתואר ראשון, כאשר לדעת שתי נקודות ניתן לצייר את הגרף, בפונקציות ריבועיות יש צורך לדעת כמה נקודות.

העקומה של פונקציה ריבועית חותכת את ציר ה- x בשורשים או באפסים של הפונקציה, לכל היותר שתי נקודות בהתאם לערך המפלה (Δ). אז יש לנו:

• אם Δ> 0, הגרף יחתוך את ציר ה- x בשתי נקודות;
• אם Δ
• אם Δ = 0, הפרבולה תיגע בציר ה- x בנקודה אחת בלבד.

יש עוד נקודה שנקראת קודקוד הפרבולה, שהוא הערך המקסימלי או המינימלי של הפונקציה. נקודה זו נמצאת באמצעות הנוסחה הבאה:

קודקוד ייצג את נקודת הערך המקסימלית של הפונקציה כאשר הפרבולה פונה כלפי מטה ואת הערך המינימלי כאשר היא פונה כלפי מעלה.

ניתן לזהות את מיקום קיעור העקומה על ידי ניתוח רק סימן המקדם ה. אם המקדם חיובי, הקעור יהיה כלפי מעלה ואם הוא שלילי הוא יהיה כלפי מטה, כלומר:

אז, כדי לשרטט את הגרף של פונקציה מדרגה 2, אנו יכולים לנתח את הערך של ה, חישבו את אפסי הפונקציה, קודקוד שלה וגם את הנקודה שבה העקומה חותכת את ציר y, כלומר כאשר x = 0.

מהזוגות המסודרים הנתונים (x, y), אנו יכולים לבנות את הפרבולה מספר מטוס קרטזיאני, דרך הקשר בין הנקודות שנמצאו.

תרגילי בחינת כניסה עם משוב

1. (Vunesp-SP) כל הערכים האפשריים של M המספקים את האי-שוויון פי 2² - 20x - 2 מ '> 0, לכולם איקס השייכים למערך הרייס, ניתנים על ידי:

א) מ> 10
ב) מ> 25
ג) מ> 30
ד) מ ה) מ

ראה תשובה

חלופה ב) מ> 25

2. (EU-CE) גרף הפונקציה הריבועית f (x) = ax² + bx היא פרבולה שקודקודה שלה הוא הנקודה (1, - 2). מספר האלמנטים של הקבוצה x = {(- 2, 12), (-1,6), (3,8), (4, 16)} השייכים לגרף של פונקציה זו הוא:

ל -1
ב) 2
ג) 3
ד) 4

ראה תשובה

חלופה ב) 2

3. (Cefet-SP) בידיעה שהמשוואות של מערכת הן x. y = 50 ו- x + y = 15, הערכים האפשריים עבור איקס ו y הם:

א) {(5.15), (10.5)}
ב) {(10.5), (10.5)}
ג) {(5.10), (15.5)}
ד) {(5.10), (5.10)}
ה) {(5.10), (10.5)}

ראה תשובה

חלופה ה) {(5.10), (10.5)}

קרא גם:

• משוואת תואר ראשון
• משוואה לתואר שני
• תרגילי פונקציה קשורים
• משוואת תיכון - תרגילים
• פונקציה מודולרית
• פונקציה מעריכית
• פונקציה פולינומית
• פונקציה מורכבת
• פונקצית מזרק
• פונקציית Bijector
• פונקציית יתר
• פונקציה הפוכה
• פונקציה ריבועית - תרגילים
• פולינומים
• פקטורינג פולינומי
• פונקציה אקספוננציאלית - תרגילים
• מתמטיקה באויב
• נוסחאות מתמטיקה