ה פונקציה מעריכית מתרחש כאשר, בחוק ההיווצרות שלו, המשתנה נמצא במעריך, עם תחום ותחום נגדי ב מספרים אמיתיים. תחום הפונקציה האקספוננציאלית הוא המספרים האמיתיים, ותחום הנגד הוא המספרים הריאליים החיוביים שאינם אפסיים. ניתן לתאר את חוק ההכשרה שלך על ידי f (x) =האיקס, על מה ה הוא מספר ממשי חיובי שאינו 1.
או גרפי של פונקציה אקספוננציאלית תמיד תהיה ברבע הראשון והשני של המטוס הקרטזיאני, ועשויה לגדול כאשר ה הוא מספר גדול מ- 1, או יורד כאשר ה הוא מספר חיובי הנמוך מ -1. ה פונקציה הפוכה של הפונקציה האקספוננציאלית היא הפונקציה הלוגריתמית, שהופכת את הגרפים של פונקציות אלה תמיד לסימטריות.
קרא גם: מהי פונקציה?
מהי פונקציה מעריכית?
כפי שהשם מרמז, המונח אקספוננציאלי מקושר לאקספוננט. אז הגדרת הפונקציה האקספוננציאלית היא א פונקציה של מי תְחוּם הוא קבוצת המספרים האמיתיים, והתחום הנגדי הוא קבוצת המספרים הריאליים החיוביים שאינם אפסיים., שתואר על ידי : ℝ → ℝ *+. חוק ההיווצרות שלו מתואר על ידי המשוואה f (x) = האיקס, על מה ה זהו מספר ממשי, חיובי, לא ריק וניתן לו שם הבסיס.
דוגמאות:
בחוק ההיווצרות, ניתן לתאר את f (x) גם כ- y וכמו בשאר הפונקציות, זה כן ידוע כמשתנה תלוי, מכיוון שערכו תלוי ב- x, הידוע כמשתנה. עצמאי.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
סוגי פונקציות אקספוננציאליים
ניתן לסווג את הפונקציות האקספוננציאליות לשני מקרים נפרדים. אם ניקח בחשבון את התנהגות הפונקציה, זה יכול להיות עולה או יורד.
פונקציה אקספוננציאלית נקראת הגדלה אם, כאשר הערך של x גדל, גם הערך של f (x) עולה. זה קורה כאשר הבסיס גדול מ -1, כלומר: ה > 1.
דוגמא:
פונקציה אקספוננציאלית נחשבת יורדת אם, כאשר הערך של x עולה, הערך של f (x) יורד. זה קורה כאשר הבסיס הוא מספר בין 0 ל -1, כלומר 0 < ה < 1.
דוגמא:
קרא גם: הבדלים בין פונקציה למשוואה
גרף פונקציות אקספוננציאלי
על מנת לצייר את הייצוג הגרפי של פונקציה מעריכית, יש צורך למצוא את התמונה עבור ערכי תחום מסוימים. הגרף של פונקציה מעריכית מאפיין צמיחה הרבה יותר גדולה מזו של פונקציות לינאריות, אם עולה, או ירידה גדולה יותר, כאשר יורד.
דוגמאות:
א) בנה את גרף הפונקציה: f (x) = 2איקס.
מאז> 1, אז פונקציה זו גדלה. לבניית הגרף, נקצה כמה ערכים ל- x כפי שמוצג בטבלה שלהלן:
כעת, כשאנו יודעים כמה נקודות מהפונקציה, ניתן לסמן אותן ב מטוס קרטזי ולשרטט את עקומת הפונקציה האקספוננציאלית.
ב) בנה את הגרף של הפונקציה הבאה:
במקרה זה, הפונקציה יורדת, מכיוון שהבסיס הוא מספר בין 0 ל -1, אז הגרף יורד.
לאחר מציאת ערכים מספריים, ניתן לייצג את גרף הפונקציה במישור הקרטזיאני:
מאפייני פונקציה אקספוננציאלית
→ נכס ראשון
בכל פונקציה מעריכית, ללא קשר לערך הבסיס שלה ה, אנחנו חייביםf (0) = 1. אחרי הכל, אנו יודעים שזה א נכס עוצמהכלומר, כל מספר שמוגדל ל- 0 הוא 1. המשמעות היא שהגרף יחתוך את הציר האנכי בנקודה (0.1) בכל פעם.
→ נכס שני
הפונקציה האקספוננציאלית היא מַזרֵק. נתונים x1 ו- x2 כזה ש- x1 ≠ x2, כך שהתמונות יהיו גם שונות, כלומר f (x1) ≠ f (x2), כלומר לכל ערך תמונה יש ערך יחיד בתחום שמתאים לאותה תמונה.
להיות מזריק פירושו שלערכים אחרים שאינם y יהיה ערך יחיד של x שהופך את f (x) לשווה ל- y.
→ נכס שלישי
ניתן לדעת את התנהגות הפונקציה על פי ערך הבסיס שלה. הגרף יגדל אם הבסיס גדול מ- 1 (ה > 1) ויורד אם הבסיס קטן מ- 1 ופחות מ- 0 (0
→ נכס רביעי
או גרף הפונקציה האקספוננציאלית נמצא תמיד ברביע הראשון והשני, מכיוון שהתחום הנגדי של הפונקציה הם הריאלים החיוביים שאינם אפסיים.
קרא גם: כיצד לשרטט פונקציה?
פונקציה אקספוננציאלית ופונקציה לוגריתמית
מכיוון שהפונקציה האקספוננציאלית היא פונקציה שמודה בהפוך, השוואה זו בין פונקציה אקספוננציאלית לפונקציה לוגריתמית היא בלתי נמנעת. מסתבר ש הפונקציה הלוגריתמית היא הפונקציה ההפוכה של האקספוננציאלי. הגרפים של פונקציות אלה הם סימטריים ביחס לחצי הציר x. להיות פונקציה הפוכה פירושו שה- פונקציה לוגריתמית האם ההפך ממה שהפונקציה האקספוננציאלית עושה, כלומר בפונקציה האקספוננציאלית, אם f (x) = y, אז הפונקציה הלוגריתמית, בהיותה הפוכה, תסומן על ידי f-1 ה- f-1 (y) = x.
תרגילים נפתרו
(Enem 2015) התאחדות העובדים של החברה מציעה כי קומת השכר של הכיתה היא 1,800.00 R, ומציעה עלייה קבועה באחוזים לכל שנה המוקדשת לעבודה. הביטוי המתאים להצעת השכר / ים, כפונקציה של משך השירות (t), בשנים, הוא s (t) = 1800 · (1,03)t.
על פי הצעת האיגוד, שכרו של איש מקצוע מחברה זו עם שירות של שנתיים יהיה,
א) 7,416.00
ב) 3,819.24
ג) 3,709.62
ד) 3,708.00
ה) 1909.62
פתרון הבעיה:
אנו רוצים לחשב את תמונת הפונקציה כאשר t = 2, כלומר s (2). החלפת t = 2 בנוסחה, נגלה כי:
s (2) = 1800 · (1.03) ²
s (2) = 1800 · 1.0609
s (2) = 1909.62
חלופה ה
2) (Enem 2015) תוספת הטכנולוגיות במערכת הייצור התעשייתית נועדה להפחית עלויות ולהגדיל את התפוקה. בשנת הפעילות הראשונה ייצור תעשייה 8000 יחידות של מוצר מסוים. בשנה שלאחר מכן היא השקיעה בטכנולוגיה, רכשה מכונות חדשות והגדילה את הייצור ב -50%. ההערכה היא כי עלייה באחוזים זו תחזור על עצמה בשנים הקרובות, מה שמבטיח צמיחה שנתית של 50%. תן ל- P להיות הכמות השנתית של מוצרים המיוצרים בשנה שלא פועלת בתעשייה.
אם מגיעים לאומדן, מה הביטוי שקובע את מספר היחידות המיוצרות פבתפקוד של t, ל t ≥ 1?
ה) פ(t) = 0.5 · ט -1 + 8 000
ב)פ(t) = 50 · t -1 + 8000
ç)פ(t) = 4 000 · ט-1 + 8 000
ד)פ(t) = 8 000 · (0,5)t-1
ו)פ(t) = 8 000 · (1,5)t-1
פתרון הבעיה:
שימו לב שיש קשר בין השנה t וכמות מוצר מסוים פ. בידיעה שיש עלייה של 50% לכל שנה, המשמעות היא שכאשר משווים את הייצור של שנה לפני ואחרי, ערך השנייה תואם ל- 150%, המיוצג על ידי 1.5. בידיעה שהייצור הראשוני הוא 8000 וכי בשנה הראשונה זו הייתה ההפקה, אנו יכולים לתאר מצב זה על ידי:
בשנה הראשונה, כלומר אם t = 1 → s (t) = 8 000.
בשנה השנייה, אם t = 2 → פ(2) = 8 000 · 1,5.
בשנה השלישית, אם t = 3 → פ(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
אחרי שנים שלא יהיה לנו פ(t) = 8 000 · (1,5)t-1.
חלופה ה
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
