פונקציה פולינומית: מה זה, דוגמאות, גרפים

פונקציה נקראת פונקציה פולינומית כאשר חוק היווצרותה הוא א פולינום. פונקציות פולינום מסווגות לפי מידת הפולינום שלהן. לדוגמא, אם לפולינום המתאר את חוק היווצרות הפונקציות יש תואר שני, אנו אומרים שזו פונקציה פולינומית של התואר השני.

לחישוב הערך המספרי של פונקציה פולינומית, פשוט החלף משתנה בערך הרצוי, הפיכת הפולינום לביטוי מספרי. במחקר הפונקציות הפולינומיות, הייצוג הגרפי הוא די חוזר. לפונקציה הפולינומית מדרגה 1 יש גרף שווה תמיד לקו ישר. לפונקציה של התואר השני יש גרף השווה לפרבולה.

קרא גם: מהם ההבדלים בין משוואה לפונקציה?

מהי פונקציה פולינומית?

גרף של פונקציה.

תפקוד f: R → R ידוע כפונקציה פולינומית כאשר חוק היווצרותה הוא פולינום:

f (x) = א_לאאיקס^לא + את_n-1איקס^n-1 + את_n-2איקס^n-2 +... + ה₂איקס² + את₁x + a₀

על מה:

x → הוא המשתנה.

n → הוא a מספר טבעי.

ה_לא, א_n-1, א_n-2, … ה₂,ה₁ וה₀ → הם מקדמים.

המקדמים הם מספרים אמיתיים המלווים את המשתנה הפולינום.

דוגמאות:

• f(x) = x⁵ + פי 3⁴ - פי 3³ + x² - x + 1

• f(x) = -2x³ + x - 7

• f(x) = x⁹

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

כיצד לקבוע את סוג הפונקציה הפולינומית?

ישנם מספר סוגים של פונקציות פולינומיות. היא

מסווג לפי מידת הפולינום. כאשר התואר הוא 1, אז הפונקציה ידועה כפונקציה פולינומית של דרגה 1 או פונקציה פולינומית של התואר הראשון, או גם פונקציה אפינית. ראה להלן דוגמאות לפונקציות מדרגה 1 ועד דרגה 6.

ראה גם: מהי פונקציית מזרק?

מידת תפקוד פולינומי

מה שמגדיר את מידת הפונקציה הפולינומית הוא מידת הפולינום, כך יכולה להיות לנו פונקציה פולינומית בכל דרגה שהיא.

• תפקוד פולינומי תואר 1

כדי שתפקוד פולינום יהיה פולינומי דרגה 1 או 1, חוק היווצרות הפונקציה חייב להיות f(x) = גרזן + ב, כאשר a ו- b הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0. ה תפקוד פולינומי דרגה 1 זה ידוע גם כפונקציה זיקה.

דוגמאות:

• f(x) = 2x - 3

• f(x) = -x + 4

• f(x) = -3x

• תפקוד פולינומי דרגה 2

כדי שתפקוד פולינום יהיה פולינום מדרגה 2 או פולינום מדרגה 2 חוק היווצרות פונקציות חייב להיותf(x) = ax² + bx + c, כאשר a, b ו- c הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0. אחד תפקוד פולינומי מדרגה 2 זה יכול להיות ידוע גם כפונקציה ריבועית.

דוגמאות:

• f(x) = 2x² - 3x + 1

• f(x) = - x² + 2x

• f(x) = 3x² + 4

• f(x) = x²

• תפקוד פולינומי דרגה 3

כדי שתפקוד פולינום יהיה תואר שלישי או פולינום מדרגה 3, ה- חוק היווצרות פונקציות חייב להיותf(x) = ax³ + bx² + cx + d, כאשר a ו- b הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0. הפונקציה של דרגה 3 יכולה להיקרא גם פונקציה מעוקבת.

דוגמאות:

• f(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1

• f(x) = -5x³ + 4x² + 2x

• f(x) = 3x³ + 8x - 4

• f(x) = -7x³

• תפקוד פולינומי דרגה 4

הן עבור הפונקציה הפולינומית של דרגה 4 והן עבור האחרים, הנימוק זהה.

דוגמאות:

• f(x) = 2x⁴ + x³ - 5x² + 2x + 1

• f(x) = x⁴ + 2x³ - x

• f(x) = x⁴

• תפקוד פולינומי דרגה 5

דוגמאות:

• f(x) = x⁵ - 2x⁴ + x³ - 3x² + x + 9

• f(x) = פי 3⁵ + x³ – 4

• f(x) = -x⁵

• פונקציה פולינומית של דרגה 6

דוגמאות:

• f(x) = 2x⁶ - פי 7⁵ + x⁴ - פי 5³ + x² + 2x - 1

• f(x) = -x⁶ + פי 3⁵ + 2x³ + 4x + 8

• f(x) = פי 3⁶ + 2x² + 5x

• f(x) = x⁶

הערך המספרי של הפונקציה

הכרת החוק לגיבוש תפקידים f(x), לחישוב הערך המספרי של ה- כיבוש עבור ערך לא, פשוט לחשב את הערך של f(לא). לָכֵן, החלפנו את המשתנה בחוק ההתהוות.

דוגמא:

ניתנה לפונקציה f(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, אנו מוצאים את הערך המספרי של הפונקציה עבור x = 2.

כדי למצוא את הערך של f(x) כאשר x = 2, נעשה f(2).

f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14

אנו יכולים לומר שתמונת הפונקציה או הערך המספרי של הפונקציה, כאשר x = 2, שווה ל- 14.

ראה גם: פונקציה הפוכה - מורכבת מההפך של הפונקציה f (x)

גרפים של פונקציות פולינומיות

לייצג ב מטוס קרטזיאני את הפונקציה, אנו מייצגים, על ציר ה- x, את ערכי ה- x ואת התמונה של f(x), לפי נקודות במישור. הנקודות במישור הקרטזיאני הן מהסוג (לא, f(לא)).

דוגמה 1:

• f(x) = 2x - 1

הגרף של פונקציה מדרגה 1 הוא תמיד א יָשָׁר.

דוגמה 2:

• f(x) = x² - 2x - 1

גרף הפונקציה של התואר השני הוא תמיד א מָשָׁל.

דוגמה 3:

• f(x) = x³ - x

הגרף של פונקציית התואר השלישי מכונה מעוקב.

שוויון פולינומים

כדי ששני פולינומים יהיו שווים, יש צורך כי בעת ביצוע ה- השוואה בין לבין אתה שֶׁלְךָ תנאים, המקדמים זהים.

דוגמא:

בהינתן הפולינומים הבאים p (x) ו- g (x), ובידיעה ש- p (x) = g (x), מצא את הערך של a, b, c ו- d.

p (x) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d

מכיוון שהפולינומים זהים, יש לנו את זה:

ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4

שימו לב שכבר יש לנו את הערך d, מכיוון ש- d = -4. כעת, בחישוב כל אחד מהמקדמים, עלינו:

ax³ = 2x³
a = 2

בידיעת הערך של a, בואו נמצא את הערך של b:

(a + b) x² = 5x²
a + b = 5

a = 2

2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3

מציאת הערך של c:

(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5

ראה גם: משוואת פולינום - משוואה המאופיינת בכך שיש לה פולינום השווה ל 0

פעולות פולינומיות

בהינתן שני פולינומים, ניתן לבצע את הפעולות של תוספת, חיסור ומכפל בין מונחים אלגבריים אלה.

• חיבור

התוספת של שני פולינומים מחושבת על ידי סכום של אתהרידיים דומות. כדי ששני מונחים יהיו דומים, החלק המילולי (אות עם אקספוננט) חייב להיות זהה.

דוגמא:

תנו ל- p (x) = 3x² + 4x + 5 ו- q (x) = 4x² - 3x + 2, חישבו את הערך של p (x) + q (x).

3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2

הדגשת מונחים דומים:

3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2

עכשיו בואו נוסיף את המקדמים של מונחים דומים:

(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7

• חיסור פולינומי

חיסור דומה מאוד לחיבור, אולם לפני ביצוע הפעולה, אנו כותבים את הפולינום ההפוך.

דוגמא:

נתונים: p (x) = 2x² + 4x + 3 ו- q (x) = 5x² - 2x + 1, חישוב p (x) - q (x).

הפולינום ההפוך של q (x) הוא -q (x), שהוא לא יותר מהפולינום q (x) עם ההפך מכל אחד מהמונחים.

q (x) = 5x² - 2x + 1

-q (x) = -5x² + 2x - 1

אז נחשב:

2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1

לפשט מונחים דומים יש לנו:

(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2

• כפל פולינום

הכפלת פולינום מחייבת את יישום של רכוש חלוקתיכלומר אנו מכפילים כל מונח של הפולינום הראשון בכל מונח של המונח השני.

דוגמא:

(x + 1) · (x² + 2x - 2)

אנו מיישמים את הנכס המפיץ:

x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)

איקס³ + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2

x³ + 3x² - 4

• חלוקה פולינומית

כדי לחשב את חלוקה בין שני פולינומים, אנו משתמשים באותה שיטה בה אנו משתמשים כדי לחשב את החלוקה של שני מספרים, שיטת המפתחות.

דוגמא:

חשב את p (x): q (x), בידיעה ש- p (x) = 15x² + 11x + 2 ו- q (x) = 3x + 1.

קרא גם: מכשיר בריוט-רופיני שימושי - שיטה נוספת לחישוב חלוקת פולינומים

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - עלות הייצור היומית של תעשיית חלפים לרכב לייצור כמות מסוימת של חלקים ניתנת בחוק ההיווצרות f(x) = 25x + 100, כאשר x הוא מספר החלקים שיוצרו באותו יום. בידיעה שביום מסוים הופקו 80 חלקים, עלות הייצור של החלקים הללו הייתה:

א) 300 BRL

ב) BRL 2100

ג) BRL 2000

ד) BRL 1800

ה) 1250 BRL

פתרון הבעיה

חלופה ב '

f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100

שאלה 2 - דרגת הפונקציה h (x) = f(איקס) · ז(x), בידיעה זו f (x) = 2x² + 5x ו- ז(x) = 4x - 5, הוא:

עד 1

ב) 2

ג) 3

ד) 4

ה) 5

פתרון הבעיה

חלופה ג

ראשית נגלה את הפולינום שהוא תוצאה של הכפל בין f(X ו- ז(איקס):

f(איקס) · ז(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
f(איקס) · ז(x) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x

שים לב שמדובר בפולינום שהוא בדרגה 3, ולכן מידת הפונקציה h (x) היא 3.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה