העירו תרגילי טריגונומטריה במשולש הימני

טריגונומטריה היא נושא חשוב במתמטיקה המאפשר להכיר צדדים וזוויות במשולש ימני, דרך הסינוס, הקוסינוס והמשיק, בנוסף לפונקציות טריגונומטריות אחרות.

כדי לשפר את הלימודים ולהרחיב את הידע שלך, עקוב אחר רשימת 8 התרגילים, בתוספת 4 שאלות לבחינת כניסה, הכל נפתר שלב אחר שלב.

תרגיל 1

כשהתבונן בבוקר בצלו של בניין על הקרקע, מצא אדם אחד שהוא נמדד 63 מטר כאשר קרני השמש יצרו זווית של 30 מעלות עם המשטח. על סמך מידע זה, חישב את גובה הבניין.

ראה תשובה

תשובה נכונה: כ 36.37 מ '.

הבניין, הצל וקרן השמש קובעים משולש נכון. באמצעות זווית של 30 מעלות ומשיק נוכל לקבוע את גובה הבניין.

שזוף רווח שווה למרחב המונה c טטו רווח פו טו מעל מכנה c רווח חלל a j j a c e n t קצה השבר

מכיוון שגובה הבניין הוא h, יש לנו:

חלל שיזוף 30 מעלות סימן שווה לחלל h מעל 63 חלל חלל h שטח שווה למרחב 63 חלל כפל חלל סימן שזוף חלל 30 מעלות סימן חלל חלל חלל h חלל שווה למרחב 63 חלל כפל סימן שטח מניין שורש ריבועי של 3 בערך המכנה 3 סוף השבר h שטח שווה לחלל 21 שורש ריבועי של 3 שטח m h שטח חלל שווה בערך 36 פסיק 37 שטח m

תרגיל 2

בהיקף בקוטר 3, קטע AC, המכונה אקורד, יוצר זווית של 90 מעלות עם אקורד CB באותו אורך. מה המדד של המיתרים?

ראה תשובה

תשובה נכונה: אורך החבל 2.12 ס"מ.

מכיוון שהקטעים AC ו- CB יוצרים זווית של 90 ° ואורכם זהה, המשולש שנוצר הוא שווה שוקיים וזוויות הבסיס שוות.

מכיוון שסכום הזוויות הפנימיות של משולש שווה ל- 180 ° וכבר יש לנו זווית של 90 °, נותרו עוד 90 ° לחלוקה שווה בין שתי זוויות הבסיס. לפיכך, ערכם של אלה שווה ל 45 º כל אחד.

instagram story viewer

מכיוון שהקוטר שווה ל -3 ס"מ, הרדיוס הוא 1.5 ס"מ ונוכל להשתמש בקוסינוס של 45 ° כדי לקבוע את אורך המיתר.

חלל קוס 45 מרחב סימנים שווה למניין החלל 1 פסיק 5 מעל המכנה קורה סוף סוף השבר רושם שווה למרחב מניין 1 פסיק 5 מעל המכנה cos שטח 45 מעלות סימן סוף שבר c או d רווח שווה למונה חלל 1 פסיק 5 מעל המכנה הצגה של סגנון התחלה מונה שורש ריבועי של 2 על פני מכנה 2 סוף שבר סוף סגנון סוף שבר c o rd רווח שווה רווח 1 פסיק 5 מניין חלל סימן כפל חלל 2 מעל מכנה שורש ריבועי של 2 קצה השבר c או d רווח שווה בערך 2 פסיק 12 שטח ס"מ

תרגיל 3

רוכב אופניים המשתתף באליפות מתקרב לקו הסיום בראש מדרון. אורכו הכולל של החלק האחרון של הבדיקה הוא 60 מ 'והזווית שנוצרה בין הרמפה לאופקית היא 30 °. בידיעה זו, חישב את הגובה האנכי עליו רוכב האופניים צריך לטפס.

ראה תשובה

תשובה נכונה: הגובה יהיה 30 מ '.

כשקוראים לגובה h, יש לנו:

s ו- n שטח 30 שטח שווה למונה חלל h שטח מעל מכנה 60 סוף שבריר שטח h שטח שווה שטח 60 סימן של שטח חלל כפל s ו- n 30 מעלות סימן שטח h שטח שווה לחלל 60 שטח כפול שטח סימן 1 חצי h שטח שווה למרחב 30 שטח

תרגיל 4

האיור הבא נוצר על ידי שלושה משולשים כאשר הגובה h קובע שתי זוויות ישרות. ערכי האלמנטים הם:

α = 30°
β = 60°
h = 21

מצא את הערך של a + b.

ראה תשובה

תשובה נכונה:

אנו יכולים לקבוע את המידות של קטעים a ו- b באמצעות המשיקים של הזוויות הנתונות.

חישוב של:

חלל שזוף חלל אלפא שווה לחלל a מעל h חלל חלל חלל שווה לחלל h חלל כפל סימן חלל שזוף אלפא חלל חלל a שטח שווה למרחב 21 כפל חלל סימן שטח שורש ריבוע של 3 מעל המכנה 3 סוף שבר שטח שווה ל 7 שורש ריבועי מתוך 3

חישוב של b:

לכן,

רווח פלוס רווח b רווח שווה רווח 28 שורש ריבועי של 3

תרגיל 5

מטוס המריא מעיר A וטס 50 ק"מ בקו ישר עד שנחת בעיר ב '. לאחר מכן היא טסה עוד 40 ק"מ, והפעם לכיוון העיר ד '. שני מסלולים אלה נמצאים בזווית של 90 מעלות זה לזה. עם זאת, בשל תנאי מזג אוויר לא טובים, קיבל הטייס הודעה ממגדל הפיקוח שהודיע לו כי אינו יכול לנחות בעיר ד 'וכי עליו לחזור לעיר א'.

על מנת לבצע את פניית הפרסה מנקודה C, הטייס יצטרך לבצע סיבוב של כמה מעלות ימינה?

לשקול:

חטא 51 ° = 0.77
cos 51 ° = 0.63
שזוף 51 ° = 1.25

ראה תשובה

תשובה נכונה: על הטייס לפנות 129 ° ימינה.

בניתוח הדמות אנו רואים שהשביל יוצר משולש נכון.

בואו נקרא לזווית אותה אנו מחפשים W. הזוויות W ו- Z משלימות, כלומר הן יוצרות זווית רדודה של 180 °.

לפיכך, W + Z = 180 °.

W = 180 - Z (משוואה 1)

משימתנו כעת היא לקבוע את זווית ה- Z ולשם כך אנו נשתמש במשיק שלה.

שטח שזוף Z רווח שווה למרחב 50 מעל 40 חלל שזוף Z שטח שווה למרחב 1 פסיק 25

עלינו לשאול את עצמנו: מהי הזווית שהמשיק שלה הוא 1.25?

הבעיה נותנת לנו את הנתונים האלה, שזוף 51 ° = 1.25.

ערך זה ניתן למצוא גם בטבלה טריגונומטרית או באמצעות מחשבון מדעי, תוך שימוש בפונקציה:

להשתזף בכוח של מינוס 1 קצה האקספוננציאלי

החלפת הערך של Z במשוואה 1 יש לנו:

W = 180 ° - 51 ° = 129 °

תרגיל 6

קרן אור מונוכרומטית במעבר ממדיום אחד למשנהו, סובלת מסטייה כלפיה. שינוי זה בהפצתו קשור למדדי השבירה של התקשורת, כפי שמוצג בקשר הבא:

חוק סנל - דקארט

s ו- n רווח r רווח x רווח n עם 2 רווח תת שווה לשטח s ו n רווח i רווח x רווח n עם תו אחד

כאשר i ו- r הם זוויות השכיחות והשבירה ו- n1 ו- n2, מדדי השבירה של האמצעים 1 ו- 2.

כאשר פוגעים במשטח ההפרדה בין אוויר לזכוכית, קרן אור משנה את כיוונה, כפי שמוצג באיור. מהו מקדם השבירה של זכוכית?

נתונים: מדד שבירת אוויר שווה ל -1.

ראה תשובה

תשובה נכונה: אינדקס השבירה של הזכוכית שווה ל- שורש ריבועי של 3 .

החלפת הערכים שיש לנו:

s ו- n שטח 30 מעלות חלל סימן כפל שטח סימן n עם vi id r סוף החתימה של שטח החתימה שווה לשטח space n עם r סופי סוף החלל חלל כפל s ו- n רווח 60 מעלות סימן n עם vi i d r סוף החתימה של שטח החתימה שווה למרחב המונה n עם סמל החלל r סוף הסימן של שטח כפל s e n רווח 60 מעלות סימן מעל מכנה s e n שטח 30 מעלות סימן סוף שבר n עם v i d r סוף החתימה של חלל המשנה שווה למונה שטח 1 רווח סימן כפל התחלה סגנון מופע מונה שורש ריבועי של 3 מעל מכנה 2 שבר סוף סיום סגנון מעל מכנה התחל סגנון מופע 1 סגנון סוף סוף שבר n עם v i d r סוף המשנה של חלל המשנה שווה לרווח המונה שורש ריבועי של 3 מעל המכנה שטח שורש מרובע של 3

תרגיל 7

כדי לגרור עץ עץ לסדנה שלו, מנעולן קשר חבל לעץ ומשך אותו עשרה מטרים על פני משטח אופקי. כוח של 40 N דרך המיתר יצר זווית של 45 ° עם כיוון הנסיעה. חשב את עבודת הכוח המופעל.

ראה תשובה

תשובה נכונה: העבודה שבוצעה היא בערך 84.85 J.

עבודה היא כמות סקלרית המתקבלת על ידי תוצר של כוח ותזוזה. אם לכוח אין כיוון זהה לתזוזה, עלינו לפרק כוח זה ולשקול רק את הרכיב בכיוון זה.

במקרה זה עלינו להכפיל את גודל הכוח בקוסינוס הזווית.

אז יש לנו:

חלל T שווה לחלל F. חלל ד חלל. חלל קוס חלל סימן 45 מעלות T חלל שווה חלל 40 חלל. חלל 3 חלל. מונה חלל שורש ריבועי של 2 מעל מכנה 2 סוף שבר T שטח שווה למרחב 60 שטח. שטח שורש מרובע 2 T שטח שווה בערך 84 פסיק 85 J שטח

תרגיל 8

בין שני הרים נאלצו תושבי שני כפרים לנסוע בדרך קשה מעלה ומטה. כדי לפתור את המצב, הוחלט כי יוקם גשר בעל כבלים בין כפרים א 'וב'.

יהיה צורך לחשב את המרחק בין שני הכפרים לפי הקו הישר שעליו ימתח הגשר. מכיוון שהתושבים כבר ידעו את גובה הערים ואת זוויות הטיפוס, ניתן היה לחשב מרחק זה.

על סמך התרשים שלמטה וידעו שגובה הערים היה 100 מ ', חישבו את אורך הגשר.

ראה תשובה

תשובה נכונה: הגשר צריך להיות באורך של כ -157.73 מ '.

אורך הגשר הוא סכום הדפנות הסמוכות לזוויות הנתונות. כשקוראים לגובה h, יש לנו:

חישוב בזווית של 45 °

רווח שזוף 45 מעלות סימן שווה למונה החלל h מעל המכנה c a t e t החלל a d j a c e n t וסוף השבר c a t e t the space a d j a c e n t e space שווה למונה חלל h מעל המכנה tan tan 45 מעלות סימן סוף שבר c a t e t space a d j a c e n t e space מונה רווח 100 מעל מכנה של סגנון התחלה מופע 1 סוף סגנון סוף שבר c a t e t space a d j a c e n t e space שווה ל- 100 space M

חישוב בזווית של 60 °

חלל שיזוף 60 מעלות סימן שווה למונה החלל h מעל המכנה c a t e t the space a d j a c e n t e סוף השבר c a t e t the space a d j a c e n t e רווח שווה למונה חלל h מעל מכנה שזוף רווח 60 מעלות סימן סוף שבר c a t e t space a d j a c e n t e space שווה למונה 100 מעל מכנה סגנון התחלה מראה שורש ריבועי של 3 סוף סגנון סוף שבר c a t e t space a d j a c e n t e space בערך שווה רווח 57 פסיק 73 שטח

כדי לקבוע את אורך הגשר, אנו מסכמים את הערכים שהתקבלו.

c o m pr i m e n t שטח שווה שטח 100 שטח בתוספת שטח 57 פסיק 73 חלל שווה בערך 157 פסיק 73 שטח m

שאלה 1

Cefet - SP

במשולש ABC למטה, CF = 20 ס"מ ו- BC = 60 ס"מ. סמן את המידות של מקטעי AF ו- BE בהתאמה.

א) 5, 15
ב) 10, 20
ג) 15, 25
ד) 20, 10
ה) 10, 5

ראה תשובה

תשובה: ב) 10, 20

לקביעת AF

אנו מציינים כי AC = AF + CF, לכן עלינו:

AF = AC - CF (משוואה 1)

CF ניתן על ידי הבעיה, שווה ל 20 ס"מ.

ניתן לקבוע AC באמצעות סינוס 30 °.

s ו- n רווח 30 מעלות סימן שווה למונה החלל A C על המכנה B C סוף השבר שטח A C שטח שווה למרחב B C סימן כפל חלל space s ו- n space 30 מעלות מֶרחָב

BC מסופק על ידי הבעיה, שווה ל 60 ס"מ.

חלל C שווה מקום 60 חלל סימן כפל חלל 1 חצי שווה שטח 30 שטח c מ '.

החלפת משוואה 1 יש לנו:

A F חלל שווה מקום A שטח C פחות חלל C F שטח חלל A F שטח שווה שטח 30 חלל מינוס שטח 20 חלל שווה שטח 10 שטח c m

כדי לקבוע את BE

תצפית ראשונה:

אנו מוודאים שהדמות בתוך המשולש היא מלבן, בגלל הזוויות הנכונות שנקבעו באיור.

לכן הצדדים שלהם מקבילים.

תצפית שנייה:

קטע BE יוצר משולש ישר זווית עם זווית של 30 ° שבו: הגובה שווה ל- AF, שזה עתה קבענו, ו- BE הוא ההיפוטנוזה.

ביצוע החישוב:

אנו משתמשים בסינוס 30 ° כדי לקבוע את BE

s ו- n רווח 30 מעלות סימן שווה ל 10 חלל מונה מעל המכנה B E קצה רווח שבר B רווח E רווח שווה ל 10 רווח מונה על מכנה s ו n רווח 30 סימן תואר סוף שבר חלל B E רווח שווה למונה חלל 10 מעל מכנה התחלה מראה סגנון 1 קצה אמצעי של שבר סוף סגנון B E שטח שווה למרחב 20 רווח c M

שאלה 2

EPCAR-MG

מטוס ממריא מנקודה B בנטייה קבועה של 15 ° לאופק. 2 ק"מ מ B נמצאת ההקרנה האנכית C של הנקודה הגבוהה ביותר D של רכס הרים בגובה 600 מ ', כפי שמוצג באיור.

נתונים: cos 15 ° = 0.97; חטא 15 ° = 0.26; tg 15 ° = 0.27

נכון לומר ש:

א) המטוס לא יתנגש במסור לפני שגובהו 540 מ '.
ב) תהיה התנגשות בין המטוס למסור בגובה 540 מ '.
ג) המטוס יתנגש במסור בד '.
ד) אם המטוס ימריא 220 מ 'לפני B, תוך שמירה על אותה נטייה, לא תהיה התנגשות של המטוס עם המסור.

ראה תשובה

תשובה: ב) תהיה התנגשות בין המטוס למסור בגובה 540 מ '.

ראשית, יש צורך להשתמש באותו מכפיל של יחידת מדידת האורך. לכן, נלך 2 ק"מ עד 2000 מ '.

בעקבות אותם תנאי טיסה ראשוניים, אנו יכולים לחזות את הגובה בו המטוס יהיה בהקרנה האנכית של נקודה C.

באמצעות המשיק של 15 ° והגדרת הגובה כ- h יש לנו:

חלל שזוף 15 מעלות סימן שווה למונה חלל h שטח מעל מכנה 2000 סוף שבריר שטח h שטח שווה לחלל 2000 סימן הכפלת שטח חלל שזוף חלל 15 חלל חלל h חלל שווה לחלל 2000 כפל חלל סימן מרחב 0 פסיק 27 חלל חלל חלל h שטח שווה למרחב 540 חלל M

שאלה 3

ENEM 2018

לקישוט גליל עגול ישר ישמש רצועה מלבנית של נייר שקוף שעליו מצוייר מודגש באלכסון הנוצר 30 ° עם הקצה התחתון. רדיוס בסיס הגליל נמדד 6 / π ס"מ וכאשר מתפתלים את הרצועה מתקבל קו בצורת סליל, כפי שמוצג באיור.

ערך המדידה של גובה הגליל, בסנטימטרים, הוא:

א) 36√3
ב) 24√3
ג) 4√3
ד) 36
ה) 72

ראה תשובה

תשובה: ב) 24√3

בהתבוננות באיור אנו מבחינים כי נעשו 6 סיבובים סביב הגליל. מכיוון שמדובר בצילינדר ישר, בכל מקום בגובהו יהיה לנו מעגל כבסיס.

לחישוב מידת בסיס המשולש.

אורך המעגל ניתן לקבל מהנוסחה:

איפה r הוא הרדיוס e, שווה ל- טיפוגרפיה 6 על pi ישר ,יש לנו:

2 חללים. חלל ישר חלל. רווח 6 רווח מעל פי ישר

איך 6 הקפות:

6 חללים. חלל 2 חלל. חלל ישר חלל. רווח 6 על פני חלל pi ישר שווה רווח 72 שטח

אנו יכולים להשתמש בשיזוף של 30 ° לחישוב הגובה.

חלל שזוף שטח סימן של 30 מעלות שווה למניין החלל a l t u r רווח מעל המכנה b a s וסוף השבר חלל space a l t u r a חלל שווה למרחב b a s וכפל חלל סימן חלל שיזוף חלל 30 מעלות סימן a l t u r חלל שווה למרחב 72 חלל ריבוי סימן ריבוי מונה שורש ריבועי של 3 מעל מכנה 3 סוף שבר a l t u r רווח שווה למרחב 24 שורש ריבועי של 3

שאלה 4

ENEM 2017

קרני אור השמש מגיעות לפני השטח באגם בזווית X עם פניו, כפי שמוצג באיור.

בתנאים מסוימים, ניתן להניח כי עוצמת האור של קרניים אלה, על פני האגם, ניתנת בקירוב על ידי I (x) = k. sin (x), כאשר k הוא קבוע, ובהנחה ש- X הוא בין 0 ° ל -90 °.

כאשר x = 30º, עוצמת האור מופחתת לאיזה אחוז מהערך המרבי שלה?

א) 33%
ב) 50%
ג) 57%
ד) 70%
ה) 86%

ראה תשובה

תשובה: ב) 50%

החלפת ערך הסינוס 30 ° בפונקציה, אנו מקבלים: