מספרים מורכבים: הגדרה, פעולות ותרגילים

מספרים מורכבים הם מספרים המורכבים מחלק אמיתי ודמיוני.

הם מייצגים את מערך כל הזוגות המסודרים (x, y), שרכיביהם שייכים לקבוצת המספרים האמיתיים (R).

קבוצת המספרים המורכבים מסומנת על ידי Ç ומוגדר על ידי הפעולות:

• שוויון: (a, b) = (c, d) ↔ a = c ו- b = d
• חיבור: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• כֶּפֶל: (א, ב). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

יחידה דמיונית (i)

מצוין על ידי המכתב אני, היחידה הדמיונית היא הזוג המסודר (0, 1). בקרוב:

אני. i = -1 ↔ i² = –1

לכן, אני הוא השורש הריבועי של –1.

צורה אלגברית של Z

הצורה האלגברית של Z משמשת לייצוג מספר מורכב באמצעות הנוסחה:

Z = x + yi

איפה:

• איקס הוא מספר ממשי המצוין על ידי x = Re (Z), הנקרא חלק אמיתי מ- z.
• y הוא מספר ממשי המצוין על ידי y = Im (Z), הנקרא חלק דמיוני של Z.

מספר מורכב מצומד

הצמידה של מספר מורכב מסומנת על ידי z, מוגדר על ידי z = a - bi. כך מוחלף הסימן של החלק הדמיוני שלו.

אז אם z = a + bi, אז z = a - bi

כאשר נכפיל מספר מורכב בצמידתו, התוצאה תהיה מספר ממשי.

שוויון בין מספרים מורכבים

להיות שני מספרים מורכבים Z₁ = (a, b) ו- Z₂ = (c, d), הם שווים כאשר a = c ו- b = d. הסיבה לכך היא שיש להם חלקים אמיתיים ודמיוניים זהים. לכן:

a + bi = c + di מתי a = c ו- b = d

פעולות עם מספרים מורכבים

עם מספרים מורכבים ניתן לבצע פעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק. בדוק את ההגדרות והדוגמאות להלן:

חיבור

ז₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

בצורה אלגברית יש לנו:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

דוגמא:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

חִסוּר

ז₁ - ז₂ = (a - c, b - d)

בצורה אלגברית יש לנו:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

דוגמא:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

כֶּפֶל

(א, ב). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

בצורה אלגברית, אנו משתמשים במאפיין החלוקתי:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (אני² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

דוגמא:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

חֲלוּקָה

ז₁/ Z₂ = Z₃
ז₁ = Z₂. ז₃

בשוויון הנ"ל, אם Z₃ = x + yi, יש לנו:

ז₁ = Z₂. ז₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

לפי מערכת הלא ידועים x ו- y יש לנו:

cx - dy = a
dx + cy = b

בקרוב,

x = ac + bd / c² + ד²
y = bc - ad / c² + ד²

דוגמא:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

תרגילי בחינת כניסה עם משוב

1. (UF-TO) שקול אני היחידה הדמיונית של מספרים מורכבים. הערך הביטוי (i + 1)⁸ é:

א) 32i
32
ג) 16
ד) 16i

ראה תשובה

חלופה ג: 16

2. (UEL-PR) המספר המורכב z הבודק את המשוואה iz - 2w (1 + i) = 0 (w מציין שהצמידה של z) היא:

א) z = 1 + i
ב) z = (1/3) - i
ג) z = (1 - i) / 3
ד) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

ראה תשובה

חלופה e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) שקול את המספר המורכב z = cos π / 6 + i sin π / 6. הערך של z³ + Z⁶ + Z¹² é:

שם
ב) ½ + √3 / 2i
ג) i - 2
ד) אני
ה) 2i

ראה תשובה

חלופה ד: i

בדוק שאלות נוספות, עם רזולוציה שהעירה, ב תרגילים על מספרים מורכבים.

שיעורי וידאו

כדי להרחיב את הידע שלך במספרים מורכבים, צפה בסרטון "מבוא למספרים מורכבים"

מבוא למספרים מורכבים

היסטוריה של מספרים מורכבים

גילוי המספרים המורכבים נעשה במאה ה -16 בזכות תרומתו של המתמטיקאי גירולמו קרדאנו (1501-1576).

עם זאת, רק במאה ה -18 פורסמו המחקרים הללו על ידי המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס (1777-1855).

זה היה צעד גדול קדימה במתמטיקה, שכן למספר שלילי יש שורש ריבועי, שעד גילוי מספרים מורכבים נחשב לבלתי אפשרי.

למידע נוסף, ראה גם

• סטים מספריים
• פולינומים
• מספרים אי - רציונליים
• משוואת תואר ראשון
• פוטנציאל וקרינה