חישוב מטריקס הפוך: מאפיינים ודוגמאות

המטריצה ​​ההפוכה או המטריצה ​​ההפוכה היא סוג של מטריצה ​​מרובעתכלומר, יש לו מספר זהה של שורות (m) ועמודות (n).

זה קורה כאשר התוצר של שתי מטריצות מביא ל- a מטריצת זהות מסדר זהה (אותו מספר שורות ועמודות).

לכן, כדי למצוא את ההיפך של מטריצה, משתמשים בכפל.

ה. B = B. A = אני_לא (כאשר מטריצה ​​B הפוכה ממטריצה ​​A)

אך מהי מטריקס הזהות?

ה מטריקס זהות מוגדר כאשר האלמנטים של האלכסון הראשי שווים כולם ל- 1 ושאר האלמנטים שווים ל- 0 (אפס). זה מסומן על ידי אני_לא:

מאפייני מטריקס הפוכים

• יש רק היפוך אחד לכל מטריצה.
• לא לכל המטריצות יש מטריצה ​​הפוכה. זה בלתי הפיך רק כאשר התוצרים של מטריצות מרובעות גורמים למטריצת זהות (I_לא)
• המטריצה ​​ההפוכה של הפוך תואמת את המטריצה ​​עצמה: A = (A^-1)^-1
• המטריצה ​​המועברת של מטריצה ​​הפוכה היא גם הפוכה: (A^t) ^-1 = (א^-1)^t
• המטריצה ​​ההפוכה של מטריצה ​​שהועברה תואמת את השינוי של ההפוך: (A^-1 ה^{t) -1}
• המטריצה ​​ההפוכה של מטריצת זהות שווה למטריצת הזהות: אני^-1 = אני

ראה גם: מטריצות

דוגמאות למטריקס הפוך

מטריצה ​​הפוכה 2x2

מטריקס הפוך 3x3

שלב אחר שלב: כיצד מחשבים את המטריצה ​​ההפוכה?

אנו יודעים שאם התוצר של שתי מטריצות שווה למטריצת הזהות, למטריצה ​​הזו יש הפוך.

שים לב שאם מטריצה ​​A היא ההפוכה של מטריצה ​​B, משתמשים בסימון: A^-1.

דוגמא: מצא את ההפך של המטריצה ​​מתחת לסדר 3x3.

קודם כל עלינו לזכור כי א '. ה^-1 = I (המטריצה ​​המוכפלת בהפוכה שלה תביא למטריצת הזהות I_לא).

כל אלמנט בשורה הראשונה של המטריצה ​​הראשונה מוכפל בכל עמודה של המטריצה ​​השנייה.

לכן, האלמנטים של השורה השנייה של המטריצה ​​הראשונה מוכפלים בעמודות השנייה.

ולבסוף, השורה השלישית של הראשונה עם העמודים של השנייה:

על ידי התאמת האלמנטים למטריצת הזהות, אנו יכולים לגלות את הערכים של:

a = 1
b = 0
c = 0

בידיעת ערכים אלה נוכל לחשב את הלא ידועים האחרים במטריקס. בשורה השלישית ובעמודה הראשונה של המטריצה ​​הראשונה יש לנו + 2d = 0. אז נתחיל במציאת הערך של ד, על ידי החלפת הערכים שנמצאו:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

כמו כן, בשורה השלישית ובעמודה השנייה אנו יכולים למצוא את הערך של ו:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

בהמשך, יש לנו בשורה השלישית של העמודה השלישית: c + 2f. שים לב שמטריצת הזהות השנייה של משוואה זו אינה שווה לאפס, אלא שווה ל -1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

במעבר לשורה השנייה ולעמודה הראשונה נמצא את הערך של ז:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

בשורה השנייה ובעמודה השנייה אנו יכולים למצוא את הערך של ה:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

לבסוף, בואו נמצא את הערך של אני לפי משוואת השורה השנייה והעמודה השלישית:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

לאחר גילוי כל הערכים הלא ידועים, אנו יכולים למצוא את כל האלמנטים המרכיבים את המטריצה ​​ההפוכה של A:

תרגילי בחינת כניסה עם משוב

1. (Cefet-MG) המטריצה הוא הפוך מ-
ניתן לומר, נכון, שההפרש (x-y) שווה ל:

א) -8
ב) -2
ג) 2
ד) 6
ה) 8

ראה תשובה

חלופה ה: 8

2. (UF Viçosa-MG) תן למטריצות להיות:

כאשר x ו- y הם מספרים אמיתיים ו- M הוא המטריצה ​​ההפוכה של A. אז מוצר ה- xy הוא:

א) 3/2
ב) 2/3
ג) 1/2
ד) 3/4
ה) 1/4

ראה תשובה

חלופה ל: 3/2

3. (PUC-MG) המטריצה ​​ההפוכה של המטריצה זה אותו הדבר כמו:

ה)
ב)
ç)
ד)
ו)

ראה תשובה

חלופה ב ':

קרא גם:

• מטריצות - תרגילים
• מטריצות וקביעות
• סוגי מטריצות
• מטריקס מועבר
• כפל מטריקס