משפט פיתגורס: נוסחה ותרגילים

או משפט פיתגורס מפרט את אורך דפנות המשולש הימני. דמות גיאומטרית זו נוצרת בזווית פנימית של 90 °, הנקראת זווית ישרה.

המשפט של משפט זה הוא:

"סכום ריבועי הרגליים תואם את ריבוע ההיפוטנוזה שלך."

נוסחת משפט פיתגורס

על פי הצהרת משפט פיתגורס, הנוסחה מיוצגת באופן הבא:

ה² = ב² + ג²

להיות,

ה: היפוטנוזה
ב: קטטו
ç: קטטו

ה אֲלַכסוֹן הוא הצד הארוך ביותר של משולש ימין והצד שמול הזווית הנכונה. שני הצדדים האחרים הם הרגליים. הזווית שנוצרה על ידי שני הצדדים הללו ישנה מידה השווה 90 מעלות (זווית ישרה).

זיהינו גם את הרגליים, על פי זווית התייחסות. כלומר, את הצד ניתן לקרוא צד צמוד או צד שכנגד.

כאשר הרגל קרובה לזווית הייחוס, היא נקראת סמוך, לעומת זאת, אם זה נגד זווית זו, זה נקרא מול.

להלן שלוש דוגמאות ליישומים של משפט פיתגורס על היחסים המטריים של משולש ימני.

דוגמה 1: לחשב את מידת ההיפוטנוזה

אם למשולש ימני יש 3 ס"מ ו -4 ס"מ כמידות הרגליים, מהו ההיפוטנוזה של המשולש הזה?

לכן צלעות המשולש הימני הן 3 ס"מ, 4 ס"מ ו- 5 ס"מ.

דוגמה 2: לחשב את המידה של אחת הרגליים

קבע את המידה של רגל שהיא חלק ממשולש ימני, שההיפוטנוזה שלה היא 20 ס"מ והרגל השנייה היא 16 ס"מ.

לכן מידות צלעות המשולש הימני הן 12 ס"מ, 16 ס"מ ו -20 ס"מ.

דוגמה 3: לבדוק אם משולש הוא מלבן

למשולש צלעות בגודל 5 ס"מ, 12 ס"מ ו -13 ס"מ. איך יודעים אם זה משולש נכון?

כדי להוכיח שמשולש נכון נכון, מדידות צלעותיו חייבות לציית למשפט פיתגורס.

מכיוון שהמדדים שניתנו מספקים את משפט פיתגורס, כלומר ריבוע ההיפוטנוזה שווה לסכום ריבוע הרגליים, אז נוכל לומר שהמשולש הוא מלבן.

קרא גם: יחסים מטריים במשולש המלבן

משולש פיתגורס

כאשר מודדים את הצדדים של א משולש ישר זווית הם מספרים שלמים חיוביים, המשולש נקרא משולש פיתגוראי.

במקרה זה, הרגליים וההיפוטנוזה נקראים "חליפת פיתגורס" או "שלישיית פיתגורס". כדי לבדוק אם שלושה מספרים יוצרים שלישיית פיתגורס, אנו משתמשים ביחס ל-² = ב² + ג².

השלישייה הפיתגוראית הידועה ביותר מיוצגת על ידי המספרים: 3, 4, 5. ההיפוטנוזה שווה ל -5, הרגל הגדולה יותר שווה ל -4 והרגל הקטנה יותר שווה ל -3.

שים לב ששטח הריבועים המצוירים משני צדי המשולש קשור בדיוק כמו משפט פיתגורס: שטח הריבוע בצד הארוך תואם את סכום השטחים של שני האחרים כיכר.

מעניין שכפול המספרים הללו יוצרים גם חליפה פיתגוראית. לדוגמא, אם נכפיל את השלישייה 3, 4 ו -5 ב -3, נקבל את המספרים 9, 12 ו -15 שיוצרים גם חליפה פיתגוראית.

בנוסף לחליפה 3, 4 ו -5, יש הרבה חליפות אחרות. כדוגמה, אנו יכולים להזכיר:

• 5, 12 ו -13
• 7, 24, 25
• 20, 21 ו -29
• 12, 35 ו -37

קרא גם: טריגונומטריה במשולש המלבן

מי היה פיתגורס?

על פי ההיסטוריה פיתגורס של סאמוס (570 א. Ç. - 495 א. ג.) היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני שהקים את בית הספר פיתגורס, הממוקם בדרום איטליה. המכונה גם אגודת פיתגורס, והיא כללה לימודים במתמטיקה, אסטרונומיה ומוסיקה.

למרות שהקשרים המטריים של המשולש הימני כבר היו ידועים על ידי הבבלים, שחיו הרבה לפני פיתגורס, ההערכה הראשונה לכך שמשפט זה שהוחל על כל משולש נכון הוא האמין שהושג על ידי פיתגורס.

משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים הידועים, החשובים והמשומשים ביותר במתמטיקה. זה חיוני בפתרון בעיות בגיאומטריה אנליטית, גיאומטריה מישורית, גיאומטריה מרחבית וטריגונומטריה.

בנוסף למשפט, תרומות חשובות נוספות של החברה לפיתגורס למתמטיקה היו:

• גילוי מספרים לא רציונליים;
• מאפיינים של מספרים שלמים;
• MMC ו- MDC.

קרא גם: נוסחאות מתמטיקה

הוכחות למשפט פיתגורס

ישנן מספר דרכים להוכיח את משפט פיתגורס. למשל הספר ההצעה הפיתגוראית, שפורסם בשנת 1927, הציג 230 דרכים להפגנה, ומהדורה נוספת, שיצאה בשנת 1940, עלתה ל -370 הפגנות.

צפו בסרטון למטה ובדקו כמה הדגמות של משפט פיתגורס.

כמה דרכים יש להוכיח את משפט פיתגורס? בטי פיי

הגיבו על תרגילים על משפט פיתגורס

שאלה 1

(PUC) סכום הריבועים של שלושת הצדדים של משולש ימני שווה 32. כמה זמן ההיפוטנוזה של המשולש?

א) 3
ב) 4
ג) 5
ד) 6

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) 4.

מהמידע בהצהרה אנו יודעים כי² + ב² + ג² = 32. מצד שני, על פי משפט פיתגורס עלינו² = ב² + ג² .

החלפת הערך של b²+ ג² דרך² בביטוי הראשון אנו מוצאים:

ה² + ה² =32 ⇒ 2. ה² = 32 ⇒ ל² = 32/2 ⇒ עד² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

לשאלות נוספות ראו: משפט פיתגורס - תרגילים

שאלה 2

(וגם)

באיור לעיל, המייצג את עיצובו של גרם מדרגות בעל 5 מדרגות באותו גובה, אורך המעקה הכולל שווה ל:

א) 1.9 מ '
ב) 2.1 מ '
ג) 2.0 מטר
ד) 1.8 מטר
ה) 2.2 מ '

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) 2.1 מ '.

האורך הכולל של המעקה יהיה שווה לסכום של שני חלקי האורך השווים 30 ס"מ עם החלק שאיננו מכירים את המידה עבורו.

אנו יכולים לראות מהאיור שהקטע הלא ידוע מייצג את המשכן המשולש של משולש ימני, שמידת אחת הרגליים שווה 90 ס"מ.

כדי למצוא את מידת הרגל השנייה עלינו להוסיף את אורך חמשת השלבים. לכן, יש לנו b = 5. 24 = 120 ס"מ.

כדי לחשב את ההיפוטנוז, בואו נשתמש במשפט זה של פיתגורס.

ה² = 90² + 120² ל² = 8100 + 14 400 ⇒ עד² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 ס"מ

שים לב שהיינו יכולים להשתמש ברעיון של החליפות הפיתגוריות לחישוב ההיפוטנוזה, מכיוון שהרגליים (90 ו -120) הן מכפלות של החליפה 3, 4 ו- 5 (מכפילות את כל המונחים ב -30).

באופן זה, המידה הכוללת של המעקה תהיה:

30 + 30 + 150 = 210 ס"מ = 2.1 מ '

בדוק את הידע שלך עם תרגילי טריגונומטריה

שאלה 3

(UERJ) Millôr Fernandes, במחווה יפה למתמטיקה, כתב שיר שממנו אנו מחלצים את השבר שלהלן:

לכל כך הרבה גיליונות של ספר מתמטיקה,
בן אדם התאהב יום אחד בפראות
מאת אלמוני.
הוא הביט בה במבטו אין ספור
והוא ראה אותה מקודקוד לבסיס: דמות מוזרה;
עיניים מעוינות, פה טרפז,
גוף מלבני, חזה ספרואיד.
הפך את חייך למקבילים לחייה,
עד שנפגשו באינסוף.
"מי אתה?" - שאל בחרדה קיצונית.
"אני סכום ריבועי הרגליים.
אבל אתה יכול לקרוא לי hypotenuse.”

(Millôr Fernandes. שלושים שנה של עצמי.)

אינקוגניטה טעה ואמר מי זה. כדי לעמוד במשפט פיתגורס, יש לבצע את הפעולות הבאות

א) "אני הריבוע של סכום הרגליים. אבל תקרא לי כיכר ההיפוטנוזה. "
ב) "אני סכום הרגליים. אבל אתה יכול לקרוא לי hypotenuse. "
ג) "אני הריבוע של סכום הרגליים. אבל אתה יכול לקרוא לי hypotenuse. "
ד) "אני סכום ריבועי הרגליים. אבל תקרא לי כיכר ההיפוטנוזה. "

ראה תשובה

חלופה ד) "אני סכום ריבועי הרגליים. אבל תקרא לי כיכר ההיפוטנוזה. "

למידע נוסף על הנושא:

• משולש שווה שוקיים
• סינוס, קוסינוס ומשיק
• מתמטיקה באויב