PA ו- PG: סיכום, נוסחאות ותרגילים

ה התקדמות חשבון - PA הוא רצף של ערכים שיש הבדל קבוע בין מספרים עוקבים.

ה התקדמות גיאומטרית - PG מציג מספרים עם אותו המנה כאשר מחלקים שני מונחים רצופים.

בעוד בהתקדמות החשבון התנאים מתקבלים על ידי הוספת ההבדל המשותף לקודמו, המונחים של א התקדמויות גיאומטריות נמצאות על ידי הכפלת היחס במספר האחרון ברצף, וכך מתקבל המונח יוֹרֵשׁ.

להלן סיכום של שני סוגי ההתקדמות.

התקדמות חשבון (AP)

התקדמות חשבון היא רצף שנוצר על ידי מונחים השונים זה מזה על ידי ערך קבוע, הנקרא יחס, המחושב על ידי:

איפה,

ר היא הסיבה ל- BP;
ה₂ הוא המונח השני;
ה₁ הוא הקדנציה הראשונה.

לכן, ניתן לכתוב את המונחים של התקדמות חשבון באופן הבא:

שים לב כי ברשות הפלסטינית של לא מתאר את הנוסחה של המונח הכללי (_לא) של הרצף הוא:

ה_לא = ה₁ + (n - 1) r

כמה מקרים מסוימים הם: AP של 3 מונחים מיוצג על ידי (x - r, x, x + r) ו- AP של 5 מונחים מכיל את מרכיביו על ידי (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

סוגי הרשות הפלסטינית

על פי ערך היחס, התקדמויות חשבון מסווגות לשלושה סוגים:

1. קָבוּעַ: כאשר היחס שווה לאפס ומונחי BP שווים.

דוגמה: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), כאשר r = 0

2. גָדֵל: כאשר היחס גדול מאפס ומונח מהשני גדול מהקודם;

דוגמה: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), כאשר r = 2

3. יורד: כאשר היחס הוא פחות מאפס ומונח מהשני פחות מהקודם.

דוגמה: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), כאשר r = - 2

ניתן עדיין לסווג התקדמות אריתמטית סוֹפִי, כאשר יש להם מספר מסוים של מונחים, ו אֵינְסוֹףכלומר בתנאים אינסופיים.

סכום התנאים של הרשות הפלסטינית

סכום התנאים של התקדמות חשבון מחושב על ידי הנוסחה:

איפה, לא הוא מספר המונחים ברצף, ה₁ הוא הקדנציה הראשונה ו ה_לא הוא המונח התשיעי. הנוסחה שימושית לפתרון שאלות בהן מונח הקדנציה הראשונה והאחרונה.

כאשר לבעיה יש מונח ראשון וסיבה BP, אתה יכול להשתמש בנוסחה:

שתי נוסחאות אלו משמשות להוספת מונחים של BP סופי.

תקופת הרשות הפלסטינית הממוצעת

כדי לקבוע את המונח הממוצע או המרכזי של BP עם מספר אי זוגי של מונחים אנו מחשבים את הממוצע החשבוני עם המונח הראשון והאחרון (a₁ וה_לא):

המונח הממוצע בין שלושה מספרים רצופים של רשות הפלסטינית תואם את הממוצע החשבוני של קודמו והיורש.

דוגמה נפתרה

בהתחשב ברשות (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) קבע את היחס, המונח הממוצע וסכום התנאים.

1. סיבה של הרשות הפלסטינית

2. לטווח בינוני

3. סכום התנאים

למידע נוסף על התקדמות חשבון.

התקדמות גיאומטרית (PG)

התקדמות גיאומטרית נוצרת כאשר לרצף יש גורם מכפיל הנובע מחלוקת שני מונחים עוקבים, הנקראים יחס משותף, המחושב על ידי:

איפה,

מה היא הסיבה ל- PG;
ה₂ הוא המונח השני;
ה₁ הוא הקדנציה הראשונה.

התקדמות גיאומטרית של לא ניתן לייצג מונחים באופן הבא:

להיות ה₁ המונח הראשון, המונח הכללי של PG מחושב על ידי ה₁.q^(לא-1).

סוגי PG

על פי ערך היחס (q), אנו יכולים לסווג התקדמות גיאומטרית לארבעה סוגים:

1. גָדֵל: היחס תמיד חיובי (q> 0) והמונחים הולכים וגדלים;

דוגמה: PG: (3, 9, 27, 81, ...), כאשר q = 3.

2. יורד: היחס תמיד חיובי (q> 0), לא אפס (0), והמונחים הולכים ופוחתים;

דוגמה: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), כאשר q = 3

3. נִדנוּדהסיבה היא שלילית (ש

דוגמה: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, ...), כאשר q = - 2

4. קָבוּעַ: היחס שווה תמיד ל -1 ולמונחים יש אותו ערך.

דוגמה: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), כאשר q = 1

סכום המונחים של PG

סכום המונחים של התקדמות גיאומטרית מחושב על ידי הנוסחה:

להיות ה₁ הקדנציה הראשונה, מה הסיבה הנפוצה ו לא מספר המונחים.

אם יחס ה- PG קטן מ -1, נשתמש בנוסחה הבאה כדי לקבוע את סכום המונחים.

נוסחאות אלה משמשות ל- PG סופי. אם הסכום המבוקש הוא PG אינסופי, הנוסחה המשמשת היא:

טווח ממוצע של PG

כדי לקבוע את הממוצע או המונח המרכזי של PG עם מספר אי זוגי של מונחים אנו מחשבים את הממוצע הגיאומטרי עם המונח הראשון והאחרון (a₁ וה_לא):

דוגמה נפתרה

בהתחשב ב- PG (1, 3, 9, 27 ו- 81) קבע את היחס, הטווח הממוצע וסכום התנאים.

1. סיבה PG

2. לטווח בינוני

3. סכום התנאים

למידע נוסף על התקדמות גיאומטרית.

סיכום נוסחאות PA ו- PG

התקדמות חשבון	התקדמות גיאומטרית
סיבה
מונח כללי
לטווח בינוני
סכום סופי
סכום אינסופי

למידע נוסף על רצפי מספרים.

תרגילים בנושא PA ו- PG

שאלה 1

מהו המונח ה -16 של הרצף שמתחיל עם המספר 3 ויש לו יחס BP השווה ל -4?

א) 36
52)
ג) 44
ד) 63

ראה תשובה

חלופה נכונה: ד) 63.

מכיוון שהיחס בין PA קבוע, אנו יכולים למצוא את המונח השני ברצף על ידי הוספת היחס למספר הראשון.

ה₂ = ה₁ + r

ה₂ = 3 + 4

ה₂ = 7

לכן אנו יכולים לומר שרצף זה נוצר על ידי (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

ניתן לחשב את המונח ה -16 באמצעות נוסחת המונח הכללי.

ה_לא = ה₁ + (n - 1). ר

ה₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

ה₁₆ = 3 + 15.4

ה₁₆ = 3 + 60

ה₁₆ = 63

לכן התשובה לשאלה היא 63.

שאלה 2

מה היחס של AP בן שש מונחים שסכום שלושת המספרים הראשונים ברצף שווה ל- 12 ושני האחרונים שווים –34?

א) 7
ב) - 6
ג) - 5
ד) 5

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) - 6.

הנוסחה הכללית למונחי התקדמות חשבון היא₁, (א₁ + r), (א₁ + 2r),..., {א₁ + (n-1) r}. לכן ניתן לכתוב את סכום שלושת המונחים הראשונים באופן הבא:

ה₁ + (ה₁ + r) + (א₁ + 2r) = 12
3₁ + 3r = 12
3₁ = 12 - 3r
ה₁ = (12 - 3r) / 3
ה₁ = 4 - r

וסכום שתי המונחים האחרונים הוא:

(ה₁ + 4r) + (א₁ + 5r) = - 34
2₁ + 9r = - 34

עכשיו אנחנו מחליפים את₁ על ידי 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

לכן, יחס ה- PG הוא - 6.

שאלה 3

אם המונח השלישי של רופא המשפחה הוא 28 והמונח הרביעי הוא 56 מהם 5 המונחים הראשונים של התקדמות גאומטרית זו?

א) 6, 12, 28, 56, 104
ב) 7, 18, 28, 56, 92
ג) 5, 9, 28, 56, 119
ד) 7, 14, 28, 56, 112

ראה תשובה

חלופה נכונה: ד) 7, 14, 28, 56, 112

ראשית, עלינו לחשב את היחס בין PG זה. לשם כך נשתמש בנוסחה:

ה₄ = ה₃. מה
56 = 28. מה
56/28 = ש
q = 2

כעת אנו מחשבים את 5 המונחים הראשונים. נתחיל עם ה-₁ באמצעות הנוסחה של המונח הכללי.

ה_לא = ה₁. מה^(n-1)
ה₃ = ה₁ . מה^(3-1)
28 = ה₁. 2²
ה₁ = 28/ 4 = 7

ניתן לחשב את התנאים הנותרים על ידי הכפלת המונח הקודם ביחס.

ה₂ = ה₁.q
ה₂ = 7. 2
ה₂ = 14

ה₅ = ה₄. מה
ה₅ = 56. 2
ה₅ = 112

לכן, חמשת המונחים הראשונים של PG הם:

קדנציה ראשונה: 7
קדנציה שנייה: 14
קדנציה שלישית: 28
קדנציה רביעית: 56
קדנציה חמישית: 112

ראה גם תרגילים אחרים כדי להמשיך להתאמן:

• תרגילים על התקדמות חשבון
• תרגילים על התקדמות גיאומטרית