מספרים אמיתיים: מה הם, מאפיינים, קו אמיתי

אנו יודעים כמספרים אמיתיים את כל המספרים הרציונליים ו לא הגיוני. על ידי לימוד ה סטים מספרייםחשוב להבין שהם עוקבים אחר הצרכים וההיסטוריה של האנושות, הסטים המספריים הם:

• קבוצה של מספרים טבעיים
• סט המספרים השלמים
• קבוצה של מספרים רציונליים
• קבוצה של מספרים לא רציונליים
• סט מספרים אמיתיים 

אתה למספרים ממשיים יש תכונות כגון: אסוציאטיבי, קומוטטיבי, קיומו של היסוד הנייטרלי להוספה וכפל, קיומו של יסוד הפוך בכפל, והפצה. המספרים האמיתיים ניתן לייצג על הקו האמיתי - איך לייצג אותם בצורה מסודרת.

קרא גם: מהם מספרים ראשוניים?

מהם המספרים האמיתיים?

סט מספרים אמיתיים

אנו מכירים כמספרים ממשיים את הסט שנוצר על ידי איחוד מספרים רציונליים ולא רציונליים. זה די מקובל לעבוד איתם, אבל מערך המספרים האמיתיים לא היה הראשון שהופיע בהיסטוריה.

מספרים טבעיים

או הסט המספרי הראשון הוא נוצר על ידי המספרים הטבעיים. הם נוצרו מתוך הצורך הבסיסי של בני האדם לספור ולספור חפצים מחיי היומיום שלהם. אתה מספרים טבעיים הם:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}

מספרים שלמים

עם התפתחות החברה השתוקקו כמיהותיו של האדם צריך לעבוד עם מספרים שליליים. פעולות כמו 4 - 6, שבמערכת המספרים הטבעיים לא היו הגיוניות, החלו לעשות זאת עם הופעתה של מערכת חדשה זו. הסט של

מספרים שלמים עלה בתוספת מספרים שליליים במכלול המספרים הטבעיים, כלומר זה נוצר על ידי המספרים הטבעיים וההפך מהם.

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

מספר רציונלי

מתברר שלמרות זאת, בתוספת מספרים שליליים, סט המספרים השלמים לא הספיק, שכן מאז מצרים העתיקה, זה די מקובל להשתמש במספרים שאינם מספרים שלמים. בדיוק אז התממש הצורך למסד מערכה חדשה: הסט שנוצר על ידי כולם מספרים שניתן לייצג על ידי שבר מכונה מספרים רציונליים.

בניגוד למכלול המספרים השלמים, ברציונלי לא ניתן לכתוב רשימת מונחים עם קודמיהם ויורשיהם, כי בהתחשב במספרים הרציונליים, תמיד יהיה אחר מספר ראציונאלי ביניהם. לדוגמא, בין 1 ל -2 יש 1.5; בין 1 ל 1.5 יש 1.25; וכולי. לכן, כדי לייצג את המספרים הרציונליים, אנו משתמשים בסימון הבא:

בסימון זה המספר הרציונלי הוא זה שניתן לייצג על ידי השבר ה תַחַת ב, על מה ה הוא מספר שלם ו ב הוא מספר שלם שאינו אפס.

במערך המספרים הרציונליים, כל המספרים השלמים נכללו שכבר היו ידועים, מכיוון שכולם יכולים להיות מיוצגים כשבר, בנוסף למספרים העשרוניים המדויקים ול- מעשר תקופתי, חיובי ושלילי.

ראה גם: מהם מספרים סדירים?

מספרים אי - רציונליים

בניגוד להגדרת מספרים רציונליים, ישנם מספרים שלא ניתן לייצג כשבר. כמה מתמטיקאים למדו אותם בזמן, בניסיון לייצג את זה, אבל זה לא אפשרי. המספרים האלה הם מעשר לא תקופתי וה שורשים לא מדויק, שבסופו של דבר מייצרים כתוצאה מעשר לא תקופתי. המספר π, למשל, הוא מספר לא רציונלי שנפוץ למדי בחיי היומיום. קבוצת המספרים הלא רציונליים אינה ניתנת לרשימה, כמו גם מספרים רציונליים, והיא מיוצגת על ידי האות אני.

דוגמאות:

• √2 → שורשים לא מדויקים הם מספרים לא רציונליים;
• -√5 → שורשים לא מדויקים גם אם שליליים הם מספרים לא רציונליים;
•  3.123094921... → עשרוניות לא תקופתיות הן מספרים לא רציונליים.

מספרים אמיתיים

מכיוון שכל המספרים הטבעיים והמספרים השלמים נחשבים רציונליים, עד כה המספרים יכולים להיות מסווג לשתי קבוצות גדולות, קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים לא הגיוני. מערך המספרים האמיתיים הוא לא יותר מ- איחוד מספרים רציונליים ולא רציונליים.

R = {Q U I}

עד כה כל המספרים שאנו מכירים נקראים מספרים אמיתיים.

פעולות עם מספרים אמיתיים

הפעולות הכוללות מספרים אמיתיים הן אלה הידועות בכל קבוצות המספרים הקודמות. האם הם:

• חיבור
• חִסוּר
• חֲלוּקָה
• כֶּפֶל
• עוצמה
• קרינה

כדי לבצע אחת מהפעולות הללו בין מספרים אמיתיים, אין הבדל מפעולות עם מספרים קודמים.

כמו כן, בהתחשב בפעולות כאלה, חשוב להדגיש זאת יש נכסים במערך המספרים האמיתיים.

מאפיינים של מספרים אמיתיים

חשוב להבין שהתכונות של המספרים האמיתיים הם השלכות הגדרתו ושימושיים לביצוע פעולות. האם הם:

• קיומו של יסוד ניטרלי להוספה ולכפל
• רכוש קומוטטיבי
• נכס אסוציאטיבי
• רכוש חלוקתי
• קיומו של הפוך

• אלמנט ניטרלי

לִהיוֹת ה מספר ממשי.

יש מספר שנוסף אליו ה, תוצאות בפני עצמה ה:

ה + 0 = ה

0 הוא האלמנט הנייטרלי של הסכום..

יש מספר שכאשר מכפילים אותו ה, תוצאות בפני עצמה ה.

ה · 1 = ה

1 הוא היסוד הנייטרלי של הכפל.

• נכס קומוטטיבי

לִהיוֹת ה ו ב שני מספרים אמיתיים.

בתוספת או בכפל, סדר המספרים לא ישנה את התוצאה.

ה + ב = ב + ה

a · b = b · a

• נכס אסוציאטיבי

לִהיוֹת ה, ב ו ç מספרים אמיתיים.

גם בתוספת וגם בכפל, שני המספרים המופעלים אדישים לכל סדר.

(ה + ב) + ç = ה + (ב + ç)

(א · ב) · Ç = ה· (b · c)

• רכוש חלוקתי

לִהיוֹת ה, ב ו ç מספרים אמיתיים.

המאפיין החלוקתי מראה כי תוצר הסכום שווה לסכום המוצרים.

ç (a + b) = ca + cb

• קיום של הפוך

לִהיוֹת ה מספר אמיתי שאינו אפס.

עבור כל מספר אמיתי ה שונה מאפס, יש מספר כזה שהמוצר נכנס אליו ה ומספר זה שווה ל -1.

ייצוג על הקו

אנו יכולים לייצג את קבוצת המספרים האמיתיים בשורה, מכיוון שיש a עקרון סדר מוגדר היטב עבורו. ייצוג זה על הקו ידוע כקו האמיתי או מִחָדָשׁזה מספרי וזה די נפוץ, אפילו בחקר המישור הקרטזיאני.

גישה גם: מהו שבר?

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - אנא שפט את ההצהרות הבאות:

אני - עשרוניות תקופתיות הן מספרים ממשיים.
II - כל מספר ממשי הוא רציונלי או לא רציונלי.
III - לא כל מספר שלם הוא טבעי.

על ידי ניתוח ההצהרות, אנו יכולים לומר כי:

א) רק אני שקרי.
ב) רק II אינו נכון.
ג) רק III אינו נכון.
ד) כולם נכונים.
ה) כולם שקריים.

פתרון הבעיה

חלופה ד '

אני - נכון, מכיוון שהמעשר הם מספרים לא רציונליים, לכן הם מספרים ממשיים.
II - נכון, מכיוון שמכלול המספרים האמיתיים הוא איחוד המספרים האמיתיים והלא רציונליים.
III - נכון, שכן מספרים שליליים, כגון -2 ו- -5, הם מספרים שלמים, אך אינם טבעיים.

שאלה 2 - בדוק את המאפיינים הבאים:

אני - רכוש קומוטטיבי
II - רכוש חלוקתי
III - רכוש אסוציאטיבי

נתח את הפעולות הבאות וסמן אותן במספר המאפיינים שלהן:

1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1) 
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1

איזו מהחלופות תואמת לסדר המאפיינים הנכון:

א) II - I - III - I
ב) I - III - III - II
ג) III - II - III - III 
ד) II - I - III - II
ה) II - III - II - I

פתרון הבעיה

חלופה א '.

1 - (II) במקרה זה, המאפיין החלוקתי קרה, שכן שימו לב כי 3 הוכפל בכל אחד מגורמי הפעולה.
2 - (I) במקרה זה, סדר הגורמים אינו משנה את המוצר, קומוטטיביות של הכפל.
3 - (III) יש לנו את המאפיין האסוציאטיבי, מכיוון שסדר ההוספה של אלמנטים אלה אינו משנה את הסכום.
4 - (I) כאן שוב יש לנו קומוטטיביות, מכיוון שסדר החבילות אינו משנה את הסכום.