פונקציות: מושגים, תכונות, גרפיקה

הקמנו א כיבוש כאשר אנו מתייחסים לכמות אחת או יותר. ניתן ללמוד חלק מתופעות הטבע הודות להתפתחות בתחום זה של המתמטיקה. לימוד הפונקציות מחולק לשני חלקים, יש לנו את החלק הכללי, בו אנו לומדים את מושגיםכללי, ואת החלק הספציפי, שבו אנו לומדים את מקרים מסוימים, כגון פונקציות פולינומיות ופונקציות מעריכיות.

ראה גם: כיצד לשרטט פונקציה?

מהן פונקציות?

פונקציה היא יישום ש מתייחס לאלמנטים של שניים סטים לא ריק. שקול שתי קבוצות שאינן ריקות A ו- B, בהן פונקציה f לְסַפֵּר כל אחד אלמנט מא 'עד רק אחד אלמנט של B.

כדי להבין טוב יותר את ההגדרה הזו, דמיין נסיעה במונית. לכל נסיעה, כלומר לכל מרחק שנסע, יש מחיר שונה וייחודי, כלומר, אין טעם שלטיול יהיו שני מחירים שונים.

אנו יכולים לייצג פונקציה זו שלוקחת אלמנטים מקבוצת A לקבוצת B בדרכים הבאות.

שים לב שלכל אלמנט של קבוצה A, קיים a אלמנט קשור יחיד איתו בסט ב '. עכשיו אנחנו יכולים לחשוב, אחרי הכל, מתי מערכת יחסים בין שתי קבוצות לא תהיה פונקציה? ובכן, כאשר אלמנט של קבוצה A קשור לשני אלמנטים נפרדים של B, או כשיש אלמנטים של קבוצה A שאינם קשורים לאלמנטים של B. תראה:

באופן כללי, אנו יכולים לכתוב פונקציה בצורה אלגברית כך:

f: A → B

x → y

שים לב שהפונקציה לוקחת אלמנטים מקבוצת A (מיוצגת על ידי x) ולוקחת אותם לאלמנטים של B (מיוצגים על ידי y). אנו יכולים גם לומר כי האלמנטים של קבוצה B ניתנים במונחים של אלמנטים של קבוצה A, כך שנוכל לייצג את y על ידי:

y = f(איקס)

כתוב: (y שווה ל- f של x)

הייצוגים הנפוצים ביותר של פונקציות מתרחשים במישור הקרטזיאני.

תחום, תחום משותף ותמונה של תפקיד

כשיש לנו תפקיד f, הסטים שקשורים מקבלים שמות מיוחדים. אז שקול פונקציה f שלוקח אלמנטים מקבוצת A לאלמנטים מקבוצת B:

f: A → B

מערך A, שממנו יוצאים היחסים, נקרא תְחוּם של הפונקציה, ונקראת הסט שמקבל את "החצים" של מערכת יחסים זו דומיין נגדי. אנו מציינים קבוצות אלה באופן הבא:

ד_f = A → תחום של f
CD_f = B → תחום הנגדי של f

תת-קבוצה של הנגד-דומיין של פונקציה שנוצרת על ידי אלמנטים המתייחסים לאלמנטים של הסט נקראת תמונה של הפונקציה ומסומן על ידי:

im_f → תמונה של f

• דוגמא

שקול את הפונקציה f: A → B המיוצגת בתרשים למטה וקבע את התחום, התחום הנגדי והתמונה.

כאמור, הסט A = {1, 2, 3, 4} הוא תחום הפונקציה fבעוד שהסט B = {0, 2, 3, –1} הוא תחום הנגד של אותה פונקציה. כעת, שימו לב שהסט שנוצר על ידי אלמנטים המקבלים את החץ (בכתום) שנוצר על ידי האלמנטים {0, 2, –1} הוא קבוצת משנה של הנגד-דומיין B, קבוצה זו היא תמונה של הפונקציה f, לכן:

ד_f = A = {1, 2, 3, 4}

CD_f = B = {0, 2, 3, -1}

im_f = {0, 2, –1}

אנו אומרים כי 0 הוא תמונת אלמנט 1 של התחום, כמו גם של 2 זו תמונה של האלמנטים 2 ו 3 של התחום, ו –1 הוא תמונת אלמנט 4 של התחום. למידע נוסף על שלושת המושגים הללו, קרא: דתחום, תחום משותף ותמונה.

פונקציה סורקטיבית

תפקוד f: A → B יהיה סובלני או סובלני אם, ורק אם, ערכת התמונה חופפת לדומיין הנגדי, כלומר אם כל האלמנטים של הניגוד הם תמונות.

אנו אומרים אם כן כי פונקציה היא אמיתית כאשר כל האלמנטים של התחום הנגדי מקבלים חצים. אם ברצונך להעמיק בפונקציות מסוג זה, בקר בטקסט שלנו: פונקציית יתר.

פונקצית הזרקה

תפקוד f: A → B יהיה מזריק או מזריק אם, ורק אם לאלמנטים נפרדים של התחום יש תמונות נבדלות בתחום הנגדי, כלומר כמו תמונות נוצרות על ידי אלמנטים דומים של התחום.

שים לב שהתנאי הוא שאלמנטים שונים של התחום מתייחסים לאלמנטים שונים של הנגד, אין שום בעיה עם הישארות האלמנטים בתחום הנגד. כדי להבין טוב יותר את המושג הזה, אתה יכול לקרוא את הטקסט: פונקצית מזרק.

פונקציית Bijector

תפקוד f: A → B יהיה צמוד אם, ורק אם הוא מזרק ומזרק בו זמניתכלומר, לאלמנטים מובחנים של התחום יש תמונות מובחנות, והתמונה חופפת לתחום הנגדי.

• דוגמא

בכל מקרה, נימק אם הפונקציה f (x) = x² זה מזרק, מזרק או מזרק.

ה) f: ℝ₊ → ℝ

שים לב שתחום הפונקציה הוא כל הריאלים החיוביים והתחום הנגדי הוא המספרים האמיתיים. אנו יודעים שהפונקציה f ניתנת על ידי f (x) = x², עכשיו דמיין שכל המספרים האמיתיים החיוביים הם גָבוֹהַ בריבוע, כל התמונות יהיו גם חיוביות. אז אנו יכולים להסיק שהפונקציה היא מזריקה ולא מטרתה, מכיוון שמספרים ממשיים שליליים לא יקבלו חצים.

זה מזריק, כמו כל אלמנט של התחום (ℝ₊) מתייחס רק לאלמנט אחד של תחום הנגד (ℝ).

ב) f: ℝ → ℝ₊

הפונקציה, במקרה זה, כוללת את התחום ככל האמיתי והדומיין הנגדי הוא אמיתי חיובי. אנו יודעים שכל מספר ממשי בריבוע הוא חיובי, ולכן כל האלמנטים של התחום הנגדי קיבלו חיצים, ולכן הפונקציה היא אמיתית. זה לא יזריק כי אלמנטים תחום מתייחסים לשני אלמנטים נגד דומיין, למשל:

f(–2) = (–2)² = 4

f(2) = (2)² = 4

ç) f:ℝ₊ → ℝ₊

בדוגמה זו לפונקציה יש תחום ושדה נגד כמספרים הריאליים החיוביים, ולכן הפונקציה היא bijector, מכיוון שכל מספר ממשי חיובי מתייחס ליחיד מספר ממשי חיובי של תחום הנגד, במקרה זה הריבוע של המספר. בנוסף, כל מספרי הנגד שכנגד קיבלו חצים.

פונקציה מורכבת

ה פונקציה מורכבת קשור ל רעיון קיצור דרך. שקול שלוש קבוצות שאינן ריקות A, B ו- C. שקול גם שתי פונקציות f ו- g, כאשר הפונקציה f לוקחת את האלמנטים x מהקבוצה A לאלמנטים y = f (x) מהמערכת B, והפונקציה g לוקחת את האלמנטים y = f (x) לאלמנטים z מהמערכת C.

הפונקציה המורכבת מקבלת שם זה מכיוון שמדובר ביישום שלוקח אלמנטים מקבוצת A ישירות לאלמנטים מקבוצת C, מבלי לעבור דרך קבוצת B, דרך הרכב הפונקציות f ו- g תראה:

הפונקציה המסומנת על ידי (f o g) לוקחת את האלמנטים מקבוצה A ישירות לקבוצה C. זה נקרא פונקציה מורכבת.

• דוגמא

שקול את הפונקציה f (x) = x² והפונקציה g (x) = x + 1. מצא את הפונקציות המורכבות (f o g) (x) ו- (g o f) (x).

הפונקציה f o g ניתנת על ידי הפונקציה g המופעלת על f, כלומר:

(f o g) (x) = f (g (x))

כדי לקבוע פונקציה מורכבת זו, עלינו לשקול את הפונקציה f, ובמקום המשתנה x, עלינו לכתוב את הפונקציה ז. תראה:

איקס²

(x + 1)²

(f o g) (x) = f (g (x)) = x² + 2x + 1

באופן דומה, כדי לקבוע את הפונקציה המורכבת (g o f) (x), עלינו להחיל את הפונקציה f בתפקיד זכלומר שקול את הפונקציה g וכתוב את הפונקציה f במקום המשתנה. תראה:

(x + 1)

איקס² + 1

לכן, הפונקציה המורכבת (g o f) (x) = g (f (x)) = x² + 1.

פונקציה אפילו

שקול פונקציה f: A → ℝ, כאשר A הוא תת קבוצה של הריאלים שאינם ריקים. פונקציה f תהיה אפילו רק לכל x האמיתי.

• דוגמא

שקול את הפונקציה f: ℝ → ℝ, ניתן על ידי f (x) = x².

שים לב שלכל ערך x אמיתי, אם בריבוע, התוצאה היא תמיד חיובית, כלומר:

f (x) = x²

ו

f (–x) = (–x)² = x²

אז f (x) = f (–x) לכל ערך x אמיתי, אז הפונקציה f זה זוג.

קרא גם:תכונות כוחs - מה הם ואיך בְּ- להשתמשאוויר?

פונקציה ייחודית

שקול פונקציה f: A → ℝ, כאשר A הוא תת קבוצה של הריאלים שאינם ריקים. פונקציה f תהיה מוזרה רק לכל x האמיתי.

• דוגמא

שקול את הפונקציה f: ℝ → ℝ, ניתן על ידי f (x) = x³.

ראה כי עבור כל ערך של x אנו יכולים לכתוב את זה (–x)³ = -x³. בדוק כמה דוגמאות:

(–2)³ = –2³ = –8

(–3)³ = –3³ = –27

אז אנחנו יכולים לומר את זה:

f (–x) = (–x)³ = –איקס³

f (–x) = (–x)³ = –f (x)

אז לכל x f (–x) = –f (x) אמיתי, וכך הפונקציה f (x) = x³ ייחודי.

הגברת התפקוד

תפקוד f é גָדֵל בהפרש זמן אם ורק אם, כאשר אלמנטים התחום גדלים, גם התמונות שלהם גדלות. תראה:

שים לב ש- x₁ > x₂ ואותו הדבר קורה עם התמונה, כך שנוכל לקבוע מצב אלגברי לפונקציה f לִהיוֹת גָדֵל.

פונקציה יורדת

תפקוד f é פּוֹחֵת במרווח אם ורק אם, כאשר אלמנטים התחום גדלים, התמונות שלהם פוחתות. תראה:

ראה כי בתחום הפונקציה, יש לנו את ה- x₁ > x₂עם זאת זה לא קורה בתמונת הפונקציה, שם f (x₁) 2). כדי שנוכל לקבוע מצב אלגברי להפחתת פונקציות. תראה:

פונקציה מתמדת

כמו שהשם אומר, א פונקציה היא קָבוּעַ מתי, לכל ערך תחום, הערך של התמונה תמיד זהה.

פונקציה קשורה

ה תפקוד או פולינומי של התואר הראשון כתוב בצורה:

f (x) = גרזן + ב

כאשר a ו- b הם מספרים אמיתיים, a אינו אפס, והגרף שלך הוא קו. לפונקציה יש תחום אמיתי וגם דומיין נגדי אמיתי.

פונקציה ריבועית

ה פונקציה ריבועית או פונקציה פולינומית של התואר השני ניתנת על ידי א פולינום מכיתה ב ' לכן:

f (x) = גרזן² + bx + c

כאשר a, b ו- c הם מספרים אמיתיים עם אפס, והגרף שלך הוא a מָשָׁל. לתפקיד יש גם תחום אמיתי ותחום נגדי.

פונקציה מודולרית

ה פונקציה מודולרית עם משתנה x מוצא-אם בתוך המודול ובאופן אלגברי זה בא לידי ביטוי על ידי:

f (x) = | x |

לפונקציה יש גם תחום אמיתי ותחום נגדי, כלומר אנו יכולים לחשב את הערך המוחלט של כל מספר ממשי.

פונקציה מעריכית

ה פונקציה מעריכיתמציג את המשתנה x במעריך. יש לו גם תחום אמיתי ותחום נגד אמיתי והוא מתואר באופן אלגברי על ידי:

f (x) = א^איקס

כאשר a הוא מספר ממשי הגדול מאפס.

פונקציה לוגריתמית

ה פונקציה לוגריתמית יש את משתנה בלוגריתם והתחום שנוצר על ידי מספרים ממשיים הגדולים מאפס.

פונקציות טריגונומטריות

בְּ פונקציות טריגונומטריות יש את משתנה x הכרוך ביחסים טריגונומטרייםהעיקריים הם:

f (x) = sin (x)

f (x) = cos (x)

f (x) = tg (x)

פונקציית שורש

פונקציית השורש מאופיינת בכך שיש את משתנה בתוך השורש, עם זאת, אם אינדקס השורש הוא אחיד, תחום הפונקציה הופך רק למספרים הריאליים החיוביים.

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה