מספרים ראשוניים: מה הם ואיך למצוא אותם?

אנו קוראים מספר ראשוני א מספר טבעי מה יש שני מפרידים: 1 ואת עצמו. כדי למצוא מספרים ראשוניים פותח המסננת של ארטוסטנס. כאשר מספר אינו ראשוני, אנו יכולים לכתוב אותו ככפל של מספרים ראשוניים, תהליך הנקרא פקטוריזציה.

קרא גם: מה הערך של ספרה?

איך יודעים אם מספר הוא ראשוני?

חיפוש מספרים ראשוניים נפוץ למדי במתמטיקה. כאשר אנו מחלקים מספר אחד לאחר, והתוצאה מדויקת, כלומר, היא לא משאירה מנוחה, מספר זה נקרא מחלק. כדי לזהות אם מספר הוא ראשוני או לא, עלינו לדעת מה המחלקים של המספר הזה. אם למספר זה יש בדיוק שתיים מְחוּגָה: 1 ואת עצמו, הוא בן דוד; אחרת זה לא ראשוני.

מספר נקרא פריים כאשר יש לו בדיוק שני מחלקים, 1 ואת עצמו.

• דוגמא

המספר 12 אינו ראשוני, שכן המספרים המחלקים 12 הם:

D (12) = 1,2,3,4.6 ו- 12

המספר 17 הוא ראשוני, כמו המחלקים של 17 הם:

D (17) = 1.17.

מספרים ראשוניים משמשים למטרות שונות במתמטיקה.

מסננת ארטוסטנס

מציאת מספרים ראשוניים אינה תמיד משימה קלה. או שיטה המשמש ביותר למשימה זו הוא המסננת של ארטוסטנס, המאפשרת למצוא את כל המספרים הראשוניים בין שני מספרים.

בואו, למשל, נמצא את המספרים הראשוניים מ -1 עד 100 בשיטה זו.

נפרט את כל המספרים מ -1 עד 100 בצורה מאורגנת. תראה:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

אנו יודעים כי ל- 1 יש רק מחלק אחד, ולכן הוא אינו ראשוני. אנו גם יודעים של -2 יש 2 מחלקים, 1 ושלעצמו, ולכן 2 הוא ראשוני. עכשיו האחרים מספרים זוגיים כולם מתחלקים ב -2, כך שהם לא ראשוניים. אז בואו נסמן את כל שאר המספרים הזוגיים ואת המספר 1 ברשימה.

מהמספרים שנותרו בשחור, אנו יודעים כי ל- 3 יש רק שני מחלקים, ולכן הוא ראשוני. עם זאת, המספרים מכפילים מתוך 3, כמו 6,9,12,15..., אינם ראשוניים. כעת נסמן את כל המספרים המרובים מתוך 3 שנותרו ברשימה.

אנו יודעים שהמספר 5 הוא ראשוני, אך מכפילים של 5 (שהם מספרים המסתיימים ב- 5 או 0) אינם, שכן 5 הוא מחלק של מספרים אלה. אז בואו נסמן גם את המספרים האלה.

מספר 7 הוא ראשוני. בעזרת אותה חשיבה נסמן את הכפולות של 7 שטרם סומנו.

עכשיו שנדע ש- 11 הוא ראשוני, בואו נחפש את המספרים המרובים של 11, מכיוון שאין מספר מספר של 11, אנחנו יודעים שסיימנו את המסננת.

המספרים הנותרים הם ראשוניים, ולכן הראשונים מ -1 עד 100 הם: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 67, 71, 73, 79, 83, 89 ו 97.

תַצְפִּית: אם אנו רוצים למצוא את ראש הממשלה בין מספרים גדולים יותר, כגון ראשוני מ -1 עד 200 או מ -1 עד 500, התהליך ימשיך עד שנמצא מספר ראשוני שאין לו מכפיל למחיקה ב שולחן.

ראה גם: קריטריונים לחלוקה - תהליכים המקלים על פעולת החלוקה

פרוק לגורמים

ניתן לחשב מספר שאינו ראשוני, כלומר, אנו יכולים לבצע את מה שאנו מכנים פירוק גורם מרכזי. תהליך זה שימושי לחישוב ה- MMC זה ה MDC.

כדי לבצע את הפירוק, נעשה חלוקות רצופות של המספר עד שנקבל 1.

• דוגמא

אז הפירוק של 72 לגורמים ראשוניים הוא 2³.3².

מספרים ראשוניים מ -1 עד 1000

דע את כל המספרים הראשוניים שקיימים בין 1 ל -1000.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43
47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107
109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181
191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521
523	541	547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613
617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887
907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - האם הפירוק של גורם הראשוני של המספר 720 שווה ל-?

א) 2³. 3². 5

ב) 2². 3³. 5

ג) 2. 3. 5

ד) 2². 3. 5³

פתרון הבעיה

חלופה א '.

על ידי ביצוע הפקטוריזציה, עלינו:

שאלה 2 -בדוק את ההצהרה הנכונה:

א) כל מספר אי זוגי הוא ראשוני.

ב) כל מספר זוגי אינו ראשוני.

C) 2 הוא המספר האחיד היחיד שהוא ראשוני.

ד) 9 הוא המספר המוזר היחיד שאינו ראשוני.

פתרון הבעיה

חלופה ג '.
א) שקר, שכן ישנם ראשונים מוזרים ומספרים שאינם ראשוניים. לדוגמא, 3 הוא ראשוני, אך 15 אינו.

ב) שקר, מכיוון שיש מספר זוגי יחיד שהוא ראשוני, המספר 2.

ג) נכון, שכן 2 הוא המספר היחיד היחיד שהוא ראשוני.

ד) שקר, שכן ישנם מספרים מוזרים אחרים שאינם ראשוניים, כגון 15 המוזכרים, 21, 39, בין היתר.