ה הִסתַבְּרוּת הוא ענף של מתמטיקה הלומד דרכים כיצד להעריך את הסיכוי לאירוע מסוים. לדוגמא, דמיין שיש לנו כד עם 10 כדורים לבנים ו -20 כדורים אדומים. אין ספק שהסיכוי לקבל כדור אדום הוא הרבה יותר גבוה, אולם זה לא אומר שאנחנו הולכים לקבל כדור אדום בניסיון הראשון, מכיוון שיש גם כדורים לבנים. חקר ההסתברות מאפשר למדוד את הסיכוי לקבל כדורים אדומים או כדורים לבנים על ידי שיוך סיכוי זה למספר אמיתי.
קרא גם: סבירות לאירוע משלים
יסודות ההסתברות
ניסוי אקראי
ניסויים אקראיים הם אלה, כאשר הם חוזרים על עצמם מספר פעמים ושומרים על תהליכים פועלים, גורמים לכך תוצאות לא סבירות. לדוגמא, כאשר אנו הופכים מטבע עשר פעמים ברציפות, התוצאות אינן סבירות, שכן בכל הפוך, ראשים או זנבות עשויים להופיע.
שטח לדוגמא
בואו נקרא למרחב המדגם ה- מַעֲרֶכֶת מכל התוצאות האפשריות של תופעה נתונה או מניסוי אקראי.
דוגמאות
א) בעת היפוך מטבע, התוצאות האפשריות הן ראשים או זנבות, כך שטווח המדגם הוא:
AND1 = {ראשים, זנבות}
ב)כאשר מגלגלים מיתה כנה, התוצאות האפשריות הן שש הצדדים של הקוביות, לכן:
AND2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ג) מטבע הופך פעמיים, ולכן שטח המדגם נקבע על ידי הזוגות שהוזמנו בהם הראשון האלמנט מייצג את תוצאת הזריקה הראשונה והשני מייצג את התוצאה של הטלה השנייה, לכן:
E = {(c, c), (c, k), (k, k), (k, c)}
כ → כתר
k → אחי
מִקרֶה
אירוע הוא כל תת קבוצה של שטח לדוגמא.
דוגמאות
שקול את שטח הדגימה של גליל למות, אז E = {1,2,3,4,5,6}. המקרים הבאים הם דוגמאות לאירועים:
א) אירוע בו פרצופים גדולים מ -3. נסמן אירוע כזה על ידי A, ומכאן:
A = {4, 5, 6}
באופן כללי, אנו יכולים לכתוב אירוע כזה באמצעות סימון קבוצה:
שימו לב שכל אלמנט של A הוא אלמנט מהקבוצה E, ולכן A הוא תת קבוצה של E.
ב) אירוע בו הפרצופים הם מספרים אי זוגיים. במקרה זה נסמן אירוע כזה על ידי B, כך:
B = {1, 3, 5}
רווחים שניתן לאפשר להם
שקול שטח מדגם E וגם ניסוי אקראי מאותו חלל. בואו נגיד ש- E הוא שטח דגימה מאובזר אם לכל האירועים בניסוי אותה ההסתברות לקרות.
דוגמאות
תארו לעצמכם כד עם שני כדורים בלבד, אחד לבן ואחד שחור. הסיכוי לקחת כדור רמז זהה ללקיחת כדור שחור, כך שמרחב המדגם הוא בלתי אפשרי.
דוגמא נוספת היא לידת תינוק. הסיכוי להיות ילד זהה לסיכוי להיות ילדה, ולכן לאירוע זה יש מרחב דגימה שווה.
ראה גם: הסתברות: הגדרות בסיסיות
נוסחת הסתברות וחישוב
ההסתברות לאירוע נתון A, המיוצג על ידי P (A), היא חֲלוּקָה בין מספר המקרים הנוחים למספר המקרים האפשריים. אנו יכולים לייצג, אם כן, את הסיכוי לאירוע A להתרחש על ידי:
דוגמא
בואו נקבע את ההסתברות שנקבל כדור רמז בכד עם 10 כדורים לבנים ו -20 כדורים אדומים.
לשם כך נקבע בתחילה את מספר המקרים המועדפים ומספר המקרים האפשריים.
מקרים נוחים → 10 (כדורים לבנים)
מקרים אפשריים → 10 + 20 (כדורים לבנים + כדורים אדומים)
שים לב שמקרים חיוביים הם המקרים שמעניינים אותנו - במקרה זה, מספר הכדורים הלבנים - ומקרים אפשריים מייצגים את המספר הכולל של האלמנטים במרחב המדגם. בואו נקרא לאירוע בשאלה A כך:
הסיכוי לקבל כדור רמז הוא אם כן 33.33%.
תרגילים
שאלה 1 - (UFPE) אות נבחרת באופן אקראי בין המרכיבים את המילה PERNAMBUCO. עד כמה הסיכוי להיות עיצור?
פִּתָרוֹן
שים לב שמספר האותיות הכולל במילה PERNAMBUCO שווה ל -10. המקרה החיובי בבעיה זו הוא מספר העיצורים שהם 6. לכן, ההסתברות לבחור עיצור היא:
