משוואה לתואר שני: כיצד לחשב, סוגים, תרגילים

ה משוואת תואר שני מאופיינת לאחד פולינום של דרגה 2, כלומר פולינום מסוג גרזן²+ bx + c, איפה ה, ב ו ç הם מספרים אמיתיים. כשאנו פותרים משוואה של דרגה 2, אנו מעוניינים למצוא ערכים לבלתי ידוע. איקס שהופך את ערך הביטוי לשווה 0, הנקראים שורשים, כלומר גרזן² + bx + c = 0.

קרא גם: הבדלים בין פונקציה למשוואה

סוגי משוואות תואר שני

משוואת התואר השני מיוצגת על ידי: ax² + bx + c = 0.

משוואת התואר השני יכולה להיות מיוצג על ידי ax² + bx + c = 0, שם המקדמים ה, ב ו ç הם מספרים אמיתיים, עם ה ≠ 0.

→ דוגמאות

א) 2x² + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 ו- c = - 6

ב) x² - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 ו- c = 2

ג) 0.5x² + x –1 = 0 → a = 0.5; b = 1 ו- c = -1

משוואת התואר השני מסווגת כ- לְהַשְׁלִים כאשר כל המקדמים שונים מ- 0, כלומר ה ≠ 0, ב ≠ 0 ו ç ≠ 0.

משוואת התואר השני מסווגת כ- לא שלם כאשר ערך המקדמים ב אוֹ ç שווים ל- 0, כלומר, b = 0 או c = 0.

→ דוגמאות

א) 2x² - 4 = 0 → a = 2; b = 0 ו- c = - 4

ב) -x² + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 ו- c = 0

ג) x² = 0 → a = 1; b = 0 ו- c = 0

ראשים למעלה: ערך המקדם ה זה אף פעם לא שווה ל- 0, אם זה קורה, המשוואה כבר לא תואר שני.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

כיצד לפתור משוואות מדרגה 2?

הפתרון של משוואה מדרגה 2 מתרחש כאשר ה- שורשים נמצאים, כלומר הערכים שהוקצו איקס. ערכים אלה של איקס חייב להפוך את השוויון לאמיתי, כלומר על ידי החלפת הערך של איקס בביטוי התוצאה חייבת להיות שווה ל- 0.

→ דוגמא

בהתחשב במשוואת x² - 1 = 0 יש לנו ש- x '= 1 ו- x' '= - 1 הם פתרונות של המשוואה, מכיוון שהחלפת ערכים אלה בביטוי, יש לנו שוויון אמיתי. תראה:

איקס² – 1 = 0

(1)² - 1 = 0 ו- (–1)² – 1 = 0

כדי למצוא את הפיתרון של א משוואה, יש צורך לנתח האם המשוואה מלאה ושלמה ולבחור באיזו שיטה ישמש.

• שיטת פיתרון למשוואות מסוג ax²+ c = 0

השיטה לקביעת הפתרון של משוואות שלמות שיש ב=0מורכב מבידוד הלא נודע איקס, לכן:

→ דוגמא

מצא את שורשי המשוואה 3x² – 27 = 0.

אם אתה רוצה לדעת יותר על שיטה זו, עבור אל: משוואה שלמה של תואר שני עם מקדם אפס b.

• שיטת פיתרון למשוואות מסוג גַרזֶן² + bx = 0

השיטה לקביעת הפתרונות האפשריים של משוואה עם ç = 0, מורכב משימוש ב- ראיות פקטורינג. תראה:

גַרזֶן² + bx = 0

x · (ax + b) = 0

כאשר מסתכלים על השוויון האחרון, מורגש שיש כפל וכדי שהתוצאה תהיה 0, יש צורך שלפחות אחד הגורמים יהיה שווה ל- 0.

x · (ax + b) = 0

x = 0 אוֹ ax + b = 0

לפיכך, הפתרון למשוואה ניתן על ידי:

→ דוגמא

קבע את הפתרון של המשוואה פי 5² - 45x = 0

אם אתה רוצה לדעת יותר על שיטה זו, עבור אל: משוואת תואר שני לא שלמה עם מקדם אפס c.

• שיטת פיתרון למשוואות שלמות

השיטה המכונה שיטת בהאסקרה אוֹ נוסחת בהאסקרה מציין כי שורשיה של משוואה מדרגה 2 של גרזן מסוג² + bx + c = 0 ניתן על ידי הקשר הבא:

→ דוגמא

קבע את הפתרון של המשוואה איקס² - x - 12 = 0.

שימו לב שהמקדמים במשוואה הם: a = 1; ב= - 1 ו ç = – 12. החלפת ערכים אלה בנוסחה של בהאסקרה, יש לנו:

הדלתא (Δ) נקראת על שם מפלה ושימו לב שהוא נמצא בתוך א שורש ריבועי וכידוע, אם לוקחים בחשבון את המספרים האמיתיים, לא ניתן לחלץ את השורש הריבועי של מספר שלילי.

בידיעת ערכו של המפלה, אנו יכולים להצהיר כמה הצהרות לגבי פתרון משוואת התואר השני:

→ מפלה חיובי (Δ> 0): שני פתרונות למשוואה;

→ מפלה השווה לאפס (Δ = 0): פתרונות המשוואה חוזרים על עצמם;

→ מפלה שלילי (Δ <0): אינו מודה בפתרון אמיתי.

מערכות משוואה לתואר שני

כאשר אנו רואים בו זמנית שתי משוואות או יותר, יש לנו a מערכת משוואות. הפתרון של מערכת דו משתנה הוא סט זוגות מסודרים המספק במקביל את כל המשוואות הכרוכות בכך.

→ דוגמא

שקול את המערכת:

עם הערכים: x ’= 2, x’ ’= - 2 ו- y’ = 2, y ’’ = - 2 אנו יכולים להרכיב זוגות מסודרים העונים על משוואות המערכת בו זמנית. ראה: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).

נזכיר כי זוג מסודר כתוב על הטופס (x, y).

השיטות למציאת פיתרון של מערכת משוואות דומות לזו של מערכות ליניאריות.

→ דוגמא

שקול את המערכת:

מהמשוואה x - y = 0, בואו ונבודד את הלא נודע איקס, לכן:

x - y = 0

x = y

כעת עלינו להחליף את הערך המבודד במשוואה האחרת, כך:

איקס² - x –12 = 0

y² - y –12 = 0

בשיטת בהסקארה עלינו:

מכיוון ש- x = y, יהיו לנו x '= y' ו- x '' = y ''. כְּלוֹמַר:

x ’= 4

x '' = -3

לפיכך, הזוגות שהוזמנו הם פתרונות של המערכת (4, 4) ו- (- 3, - 3).

קרא עוד: מערכת משוואות תואר ראשון ושני

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (ESPM -SP) הפתרונות למשוואה למטה הם שני מספרים

א) בני דודים.

ב) חיובי.

ג) שלילי.

ד) זוגות.

ה) מוזר.

פִּתָרוֹן

אנו יודעים כי המכנים של שבר אינם יכולים להיות שווים לאפס, לכן x ≠ 1 ו- x ≠ 3. ומכיוון שיש לנו שוויון של שברים, אנו יכולים להכפיל את עצמם ולהשיג:

(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)

איקס² + 6x +9 = 3x² - 2x - 1

איקס² - פי 3² + 6x + 2x +9 +1 = 0

(– 1) - 2x² + 8x +10 = 0 (– 1)

2x² - 8x - 10 = 0

מחלקים את שני צידי המשוואה ב -2, יש לנו:

איקס² - 4x - 5 = 0

על פי הנוסחה של בהאסקרה נובע כי:

שימו לב כי שורשי המשוואה הם מספרים אי זוגיים.

חלופה ה.

שאלה 2 - (UFPI) חקלאי עופות מצא שאחרי שהציב (n +2) ציפורים בכל אחת מהעופות הזמינות, תישאר רק ציפור אחת. המספר הכולל של ציפורים, לכל ערך טבעי של n, הוא תמיד

א) מספר זוגי.

ב) מספר אי זוגי.

ג) ריבוע מושלם.

ד) מספר המתחלק ב -3.

ה) מספר ראשוני.

פִּתָרוֹן

ניתן למצוא את מספר הציפורים על ידי הכפלת מספר העופות במספר הציפורים המוצבות בכל אחת מהן. מהם, על פי הצהרת התרגיל לאחר ביצוע תהליך זה נותרה עוד ציפור אחת, נוכל לכתוב את כל זה בהמשך דֶרֶך:

n · (n + 2) +1

בביצוע החלוקה נקבל:

לא² + 2n +1

ומבחינה של פולינום זה נובע מכך:

(n + 1)²

לפיכך, המספר הכולל של ציפורים הוא תמיד ריבוע מושלם לכל מספר טבעי n.

חלופה ג

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה