ייצוג גיאומטרי של סכום המספרים המורכבים

הסט של מספרים מסובכים נוצר על ידי כל מספרי z שניתן לכתוב בצורה הבאה:

z = a + bi

בצורה זו, i = √ (- 1). במספרים אלה נקרא a חלק אמיתי ו- b נקרא חלק דמיוני. לייצג את מספריםמתחמים מבחינה גיאומטרית, נשתמש וקטורים על התוכנית.

ייצוג גיאומטרי של מספרים מורכבים

אתה מספריםמתחמים ניתן לייצג גיאומטרית ב- שָׁטוּחַ בנוי באופן דומה ל- מטוס קרטזי: שני צירים בניצב שהם בתורם שורות מספרים. יתר על כן, שתי שורות אלה נמצאות במקורותיה.

ההבדל בין תוכנית זו לבין שָׁטוּחַקרטזי זו רק הפרשנות: ציר ה- x של המישור הזה נקרא ציר אמיתי, וציר y נקרא ציר דמיוני. אז לייצג מספר מורכב במישור הזה, המכונה תוכנית של ארגנד-גאוס, עלינו להפוך את המספר הזה לזוג מסודר, כאשר הקואורדינטה x היא חֵלֶקאמיתי של המספר המורכב ותיאום y הוא שלך. חֵלֶקדִמיוֹנִי.

לאחר מכן, הווקטור המייצג a מספרמורכב הוא תמיד ה קטע ישר אוריינטציה שמתחילה במקור התוכנית של ארגנד-גאוס ומסתיים בנקודה (a, b), שם a הוא a חֵלֶקאמיתי של המספר המורכב ו- b הוא החלק הדמיוני שלו.

במילים אחרות, ההבדל הגדול ביותר בין תוכניות אלה הוא בכך ש- in שָׁטוּחַקרטזי, אנו קולעים נקודות ובתוכנית ארגנד-גאוס, אנו משתמשים בחלק האמיתי והדמיוני של מספרים מורכבים כדי לסמן וקטורים.

התמונה הבאה מציגה את יִצוּגגֵאוֹמֶטרִי שֶׁל מספרמורכב z = 2 + 3i.

ייצוג גיאומטרי של תוספת מספר מורכבת

בהתחשב במתחמים z = a + bi ו- u = c + di, יש לנו את התוספת האלגברית הבאה:

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

a + u = a + bi + c + di

a + u = a + c + (b + d) i

שימו לב שמבחינת גֵאוֹמֶטרִי, מה נעשה כשמוסיפים מספריםמתחמים הוא סכום הקואורדינטות שלהם באותו ציר.

מבחינה גיאומטרית, הסכום בין מתחמים z = a + bi ו- u = c + di יכולים להיעשות באופן הבא:

1 - צייר וקטורים z ו- u במישור של ארגנד-גאוס;

2 - הורד עותק של ה- וֶקטוֹר u עבור נקודת הקצה של וקטור z. במילים אחרות, צייר וקטור באורך זהה לווקטור u ובמקביל אליו מנקודה (a, b).

3 - הורד עותק של z וֶקטוֹר z עבור נקודת הקצה של הווקטור u;

4 - שימו לב שהווקטורים u, u ', z ו- z' יוצרים a מַקבִּילִית, ובנה וקטור v שמתחיל מהמקור ומסתיים במפגש בין הווקטורים u 'ו- z'.

5 - v = z + u

שימו לב לבנייה זו בתמונה למטה:

או וֶקטוֹר v הוא רק האלכסון של זה מַקבִּילִית נוצר על ידי הווקטורים u, u ', z ו- z'.

דוגמא

שקול וקטור a = 1 + 7i וקטור b = 3 - 2i. ראה את בניית המקבילית משני אלה וקטורים:

לפיכך, ניתן לקבוע את תוצאת הסכום בין שני הווקטורים הללו המתבוננים בקואורדינטות של הווקטור v = (4, 5). לכן, ה מספר מורכב v = 4 + 5i.

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

סילבה, לואיז פאולו מוריירה. "ייצוג גיאומטרי של סכום המספרים המורכבים"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-geometrica-soma-numeros-complexos.htm. גישה אליו ב -28 ביוני 2021.