רציונליזציה של מכנים: כיצד לעשות זאת?

רציונליזציה של מכנים היא הטכניקה המשמשת כאשר א שבריר יש מספר לא רציונלי במכנה ואתה רוצה למצוא שבר שני שווה ערך לשבר הראשון, אך שאין בו מספר לא רציונלי במכנה. לשם כך, יש צורך לבצע פעולות מתמטיות כדי לשכתב את השבר כך שלא יהיה לו שורש לא מדויק במכנה שלו.

קרא גם: כיצד לפתור פעולות עם שברים?

איך רציונליזציה של מכנים?

נתחיל במקרה הפשוט ביותר של רציונליזציה של מכנים ונעבור למורכב ביותר, אך הטכניקה עצמה היא לחפש שבר שווה ערך הכפלת המונה והמכנה במספר נוח המאפשר ביטול שורש מכנה השבר. ראה כיצד לעשות זאת במצבים שונים בהמשך.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

• רציונליזציה כשיש שורש ריבועי במכנה

יש כמה שברים שאפשר לייצג איתם מספרים אי - רציונליים במכנים. ראה כמה דוגמאות:

כאשר מכנה השבר אינו רציונלי, אנו משתמשים בטכניקות מסוימות כדי להפוך אותו למכנה רציונלי, כגון רציונליזציה. כשיש א שורש ריבועי במכנה, אנו יכולים לחלק לשני מקרים. הראשון הוא כאשר לשבר יש רק שורש אחד ברדיקל שלו.

דוגמה 1:

כדי לרציונליזציה של המכנה הזה, בואו נמצא את השבר המקביל לזה, אך אין לו מכנה לא רציונלי. בשביל זה, בואו הכפל את המונה והמכנה באותו מספר - במקרה זה, זה יהיה בדיוק המכנה של השבר, כלומר √3.

בְּ כפל שברים, אנחנו מתרבים ישר. אנו יודעים כי 1 · √3 = √3. במכנה, יש לנו ש √3 · √3 = √9 = 3. עם זאת, אנו מגיעים לדברים הבאים:

מכאן, יש לנו ייצוג של השבר שמכנהו אינו מספר לא רציונלי.

דוגמה 2:

המקרה השני הוא כשיש א תוספת או הבדל בין שורש לא מדויק.

כאשר יש הבדל או תוספת של מונחים במכנה, אחד מהם הוא השורש הלא מדויק, אנו מכפילים את המונה ואת המכנה בצירוף המכנה. אנו מכנים את הצמידה של √2 - 1 ההופכי של המספר השני, כלומר √2 + 1.

על מנת לבצע את הכפל במונה, עלינו:

3(√2 + 1) = 3√2 +3

המכנה הוא ה מוצר יוצא דופן ידוע כ תוצר של סכום להפרש. התוצאה שלה היא תמיד הריבוע של המונח הראשון פחות הריבוע של המונח השני.

(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1

(√2 – 1)(√2 + 1) = 1

לכן, על מנת לתרץ את המכנה של השבר הזה, עלינו:

ראה גם: שלוש טעויות נפוצות בפשטות שבר אלגברי

• רציונליזציה כשיש שורש אינדקס גדול מ -2

עכשיו תסתכל על כמה דוגמאות כשיש במכנה שורש של מדדים גדולים מ -2.

מכיוון שהמטרה היא לחסל את הרדיקל, בואו ונכפיל את המכנה כך שניתן יהיה לבטל את שורשו של אותו מכנה.

דוגמה 1:

במקרה זה, כדי לחסל את המעריך של הרדיקל, בואו הכפל בשורש הקוביות של 2² במונה ובמכנה, כך שהוא יופיע בתוך 2³ הרדיקלי, וכך ניתן לבטל את השורש הקובי.

על ידי ביצוע הכפל, עלינו:

דוגמה 2:

בעזרת אותה חשיבה, נכפיל את המכנה והמונה במספר שגורם ל- פּוֹטֵנצִיָה מהמכנה למדד, כלומר בואו להכפיל בשורש החמישי של 3 קוביות כדי שתוכל לבטל את המכנה.

קרא גם: כיצד לפשט שברים אלגבריים?

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - רציונליזציה של מכנה השבר להלן, אנו מוצאים:

א) 1 + √3.
ב) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
ד) √3.
ה) √3 -1.

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

שאלה 2 - (IFCE 2017 - מותאם) בקירוב הערכים של √5 ו- √3 למקום העשרוני השני, אנו מקבלים 2.23 ו- 1.73 בהתאמה. בערך, ערך הביטוי המספרי הבא למקום העשרוני השני הוא:

א) 1.98.
ב) 0.96.
ג) 3.96.
ד) 0.48.
ה) 0.25.

פתרון הבעיה

חלופה E.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

OLIVEIRA, ראול רודריגס דה. "רציונליזציה של מכנים"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm. גישה אליו ב -28 ביוני 2021.