הבינום של ניוטון האם כל בינומי מוגדל למספר לא על מה לא הוא מספר טבעי. תודה למחקרי הפיזיקאי אייזק ניוטון לגבי כוחות הדו-כיווניים, זה היה אפשרי לבדוק קביעות שמאפשרות ייצוג הפולינום נוצר מעוצמת הדו-כיווני.
בשמירה על קביעות אלו, זה גם התאפשר מצא רק אחד מהתנאים של פולינום, מבלי שתצטרך לחשב את כל זה, תוך שימוש בנוסחת המונח הכללי של בינומי. בנוסף ניוטון הבחין במערכת יחסים בין ניתוח קומבינטוריהבינומים של ניוטון, מה גרם ל המשולש של פסקל כלי נהדר לפיתוח מעשי יותר של בינום ניוטון.
קרא גם: מכשיר בריוט-רופיני - שיטה לחלוקת פולינומים
הגדרת הדף הבינומי של ניוטון
אנו מגדירים כבינומי אתפולינום שיש בו שני מונחים. ביישומים מסוימים במתמטיקה ופיזיקה, יש צורך לחשב את הכוחות של בינום. כדי להקל על התהליך, אייזיק ניוטון הבחין בקביעות חשובות המאפשרים לנו למצוא את הפולינום הנובע מכוחו של בינומי.
בחלק מהמקרים החישוב הוא פשוט למדי: פשוט בצע את הכפלת הבינום בפני עצמה באמצעות המאפיין החלוקתי. עד כוחו של סדר 3, אנו מתפתחים ללא מאמץ רב, מכיוון שהם הידועים מוצרים בולטים, אך בכוחות גבוהים יותר, חישב מכפל המונח בפני עצמו לא לפעמים זה הרבה עבודה.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
דוגמאות
זכור שכל מספר שמוגדל לאפס שווה ל -1 וכי כל מספר שמוגדל ל -1 הוא עצמו, וזה נכון גם לגבי הבינומים.
ניוטון הבחין בא הקשר בין המקדמים של כל אחד מהמונחים והשילוב, שאיפשר את חישוב ההספק של בינומי ישירות יותר מהנוסחה הבאה:
הבנת הנוסחה:
ראשית בואו נסתכל על החלק המילולי של כל מונח, שהוא האות עם האקספוננט שלה. שים לב שלכל מונח, המעריך של “a "הלך ופחת, החל מ- n, ואז עבר ל- n - 1, וכן הלאה עד שהיה 1 במונח הלפני אחרון ו- 0 במונח האחרון (מה שהופך את האות" a "אפילו לא להופיע במונח האחרון).
מזהה ה ומעריציו:
עכשיו בואו ננתח את המעריכים של "b", שתמיד הולכים וגדלים, החל מ- 0 במונח הראשון (ה- מה שגורם לאות ב 'לא להופיע במונח הראשון), 1 במונח השני, וכן הלאה עד שהיא שווה ה לאבקדנציה האחרונה.
מזהה ב ומעריציו:
הבנת החלק המילולי, בואו לנתח את המקדמים, שכולם שילובים של לא אלמנטים שנלקחו מ 0 ל 0, 1 ל 1, 2 ל 2, וכן הלאה עד המונח האחרון, שהוא השילוב של לא אלמנטים שנלקחו מ לא ב לא.
ראוי לציין כי חשוב לשלוט בחישוב של שילובים כדי להיות מסוגל למצוא את המקדמים. זכור, כדי לחשב שילובים, עלינו:
תגובת השילוב היא תמיד א מספר טבעי.
ראה גם: חלוקה פולינומית: כיצד לפתור אותה?
דוגמא: חשב את הבינום של ניוטון (a + b) לכוח הרביעי.
שלב ראשון: כתוב את הפולינום באמצעות הנוסחה.
שלב שני: לחשב את השילובים.
החלפת השילובים, הפולינום שנמצא יהיה:
אתה יכול לראות שפתרון מקרים כאלה עדיין מייגע, תלוי במעריך, אך למרות זאת הוא מהיר יותר מחישוב באמצעות המאפיין החלוקתי. כלי שיכול לעזור בחישוב זה הוא המשולש של פסקל.
המשולש של פסקל
משולש פסקל פותח על ידי בלייז פסקל במהלך חקר השילובים. הוא דרך שמקלה על חישוב שילובים. השימוש במשולש פסקל מקל על איתור מקדמי החלקים המילוליים של בינום ניוטון מהיר וקל יותר מבלי לחשב את כל הצירופים.
כדי לבנות את המשולש של פסקל ישירות, בואו נזכור שני מצבים בהם חישוב השילוב שווה ל- 1.
לפיכך, המונח הראשון והאחרון של כל השורות תמיד שווה ל -1. המונחים המרכזיים בנויים מסכום המונח שמעליו בתוספת שכנתו מהעמודה הקודמת, כמו בייצוג להלן:
כדי לבנות את השורות הבאות, רק זכרו כי הקדנציה הראשונה היא 1 וגם האחרונה. ואז מספיק לעשות את הסכומים כדי לגלות את המונחים המרכזיים.
גישה גם: משפט פירוק פולינומי
דוגמא: חשב (a + b) לכוח השישי.
שלב ראשון: החל את הנוסחה של הדף הבינומי.
שלב שני: לבנות את המשולש של פסקל עד לקו השישי.
שלב שלישי: החלף את השילובים בערכים בשורה 6, שהם המקדמים של כל אחד ממונחי הבינום.
מה שקובע את מספר השורות שאנחנו הולכים לבנות מהבינומי הוא הערך של n. חשוב לזכור שהשורה הראשונה היא אפס.
המונח הכללי הבינומי של ניוטון
המונח הכללי הבינומי של ניוטון הוא נוסחה המאפשרת לנו לחשב את המונח של הבינום מבלי שנצטרך לפתח את כל הפולינום, כלומר אנו יכולים לזהות כל אחד מהמונחים מהראשון ועד האחרון. עם הנוסחה, אנו מחשבים ישירות את המונח אותו אנו מחפשים.
ה: תנאי ראשון
ב: קדנציה שנייה
n: מַעֲרִיך
p + 1: מונח חיפוש
דוגמא: מצא את המונח ה -11 של הבינומי (a + b)12.
פתרון הבעיה:
ראה גם: הפגנות דרך של חשבון אלגברי
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (Cesgranrio) המקדם של x4 בפולינום P (x) = (x + 2)6:
א) 64
ב) 60
ג) 12
ד) 4
ה) 24
פתרון הבעיה
אנו רוצים למצוא מונח ספציפי בפתרון הבינומי; לשם כך, עלינו למצוא את הערך של p.
אנו יודעים שהמונח הראשון במקרה זה שווה ל- x, לכן n - p = 4, כ- n = 6, יש לנו:
לפיכך, המקדם הוא 60 (חלופה B).
שאלה 2 - (יוניפור) אם המונח המרכזי של ההתפתחות הבינומית (4x + ky)10 עבור 8064x5y5, ואז האלטרנטיבה המתאימה לערך k תהיה:
א) 1/4
ב) 1/2
ג) 1
ד) 2
דואר 4
פתרון הבעיה: אנו יודעים שלמונח המרכזי יש מקדמים שווים (p = 5). בואו נמצא את המונח השישי, שכן p + 1 = 6. יתר על כן, יש לנו ש- = 4x; b = ky ו- n = 10, אז:
חלופה ד '
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
