אחד משוואת פולינום מאופיין בכך שיש פולינום שווה לאפס. ניתן לאפיין אותו במידת הפולינום, וככל שדרגה זו גדולה יותר, כך גדלה דרגת הקושי במציאת פתרונה או שורשה.
חשוב גם בהקשר זה להבין מהו משפט היסוד של האלגברה הקובע זאת לכל משוואת פולינום יש לפחות פיתרון מורכב אחדבמילים אחרות: למשוואה של דרגה אחת יהיה פיתרון אחד לפחות, למשוואה של דרגה שתיים יהיו לפחות שני פתרונות וכן הלאה.
קרא גם: מהן שיעורי הפולינומים?
מהי משוואת פולינום
משוואת פולינום מאופיינת בכך שיש פולינום השווה לאפס, ולכן, כל ביטוי מסוג P (x) = 0 הוא משוואה פולינומית, כאשר P (x) הוא פולינום. ראה להלן המקרה הכללי של משוואת פולינום וכמה דוגמאות.
שקול אתלא, אn -1, א n -2, …, ה1, א0 ו- x מספרים אמיתיים, ו- n הוא מספר שלם חיובי, הביטוי הבא הוא משוואה פולינומית של דרגה n.
- דוגמא
המשוואות הבאות הן פולינומים.
א) 3x4 + פי 42 – 1 = 0
ב) פי 52 – 3 = 0
ג) 6x - 1 = 0
ד) 7x3 - איקס2 + 4x + 3 = 0
כמו פולינומים, גם למשוואות הפולינום יש תואר. כדי לקבוע את דרגת משוואת הפולינום, פשוט מצא את הכוח הגבוה ביותר שמקדם שונה מאפס. לכן, המשוואות של הפריטים הקודמים הן, בהתאמה:
א) המשוואה היא מ תואר רביעי:3איקס4+ פי 42 – 1 = 0.
ב) המשוואה היא מ בית ספר תיכון:5איקס2 – 3 = 0.
ג) המשוואה היא מ תואר ראשון:6איקס – 1 = 0.
ד) המשוואה היא מ דרגה שלישית: 7איקס3- איקס2 + 4x + 3 = 0.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
כיצד לפתור משוואת פולינום?
שיטת פתרון משוואת הפולינום תלויה במידתו. ככל שדרגת המשוואה גדולה יותר, כך קשה יותר לפתור אותה. במאמר זה נציג את שיטת הפיתרון למשוואות פולינום של תואר ראשון, תואר שני וביסקוואר.
משוואה פולינומית של התואר הראשון
משוואת פולינום של התואר הראשון מתוארת על ידי a תואר 1 פולינום. כדי שנוכל לכתוב משוואה של התואר הראשון, באופן כללי, באופן הבא.
שקול שני מספרים אמיתיים ה ו ב עם ≠ 0, הביטוי הבא הוא משוואה פולינומית של המעלה הראשונה:
ax + b = 0
כדי לפתור משוואה זו, עלינו להשתמש ב- עקרון שקילותכלומר, כל מה שמופעל בצד אחד של השוויון חייב להיות מופעל גם בצד השני. כדי לקבוע את הפיתרון של משוואה של התואר הראשון, עלינו לבודד את הלא נודע. לשם כך, הצעד הראשון הוא לחסל את ב בצד שמאל של השוויון, ואז להחסירמשוטים ב משני צידי השוויון.
גרזן + ב ב = 0 ב
גרזן = - ב
שימו לב שהערך של ה- x הלא ידוע אינו מבודד, צריך לבטל את המקדם a מהצד השמאלי של השוויון, ולשם כך בואו נחלק את שני הצדדים ב- ה.
- דוגמא
פתור את המשוואה 5x + 25 = 0.
כדי לפתור את הבעיה עלינו להשתמש בעקרון השוויון. על מנת להקל על התהליך, נשמיט את כתיבת הפעולה בצד שמאל של השוויון, ההוויה שווה ערך ואז לומר שאנחנו הולכים "להעביר" את המספר לצד השני, לשנות את הסימן (פעולה הפוכה).
למידע נוסף על פתרון משוואה מסוג זה על ידי גישה לטקסט שלנו: משוואה מדרגה ראשונה עם לא ידוע.
משוואה פולינומית של התואר השני
משוואה פולינומית של המעלה השנייה מאפיינת a תואר שני פולינום. אז שקול מספרים אמיתיים a, b ו- c עם ≠ 0. משוואה לתואר שני ניתנת על ידי:
גַרזֶן2 + bx + c = 0
ניתן לקבוע את הפיתרון שלך בשיטה של בהאסקרה או על ידי פקטורינג. אם אתה רוצה לדעת יותר על משוואות מסוג זה, קרא: שווה ערךפעולה של סשְׁנִיָה זראו.
→ שיטת בהאסקרה
בשיטת בהסקארה, שורשיה ניתנים על ידי הנוסחה הבאה:
- דוגמא
קבע את הפתרון של המשוואה x2 - 3x + 2 = 0.
שימו לב שמקדמי המשוואה הם, בהתאמה, a = 1, b = - 3 ו- c = 2. החלפת ערכים אלה בנוסחה, עלינו:
→ פרוק לגורמים
שים לב שאפשר לפקטור את הביטוי x2 - 3x + 2 = 0 בעזרת הרעיון של פקטוריזציה פולינומית.
איקס2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
שימו לב עכשיו שיש לנו מוצר השווה לאפס, ומוצר שווה לאפס רק אם אחד הגורמים שווה לאפס, אז עלינו:
x - 2 = 0
x = 2
אוֹ
x - 1 = 0
x = 1
ראו שמצאנו את הפיתרון למשוואה בשתי שיטות שונות.
משוואה דו-ריבועית
ה משוואת ביסקוור זה מקרה מסוים של משוואה פולינומית של המעלה הרביעית, בדרך כלל משוואת תואר רביעי תיכתב בצורה:
גַרזֶן4 + bx3 + תיבה2 + dx + e = 0
איפה המספרים א ב ג ד ו ו אמיתיים עם ≠ 0. משוואת מדרגה רביעית נחשבת לביסקווארית כאשר המקדמים b = d = 0, כלומר המשוואה היא בצורה:
גַרזֶן4 + תיבה2 + ו = 0
ראה בדוגמה שלהלן כיצד לפתור משוואה זו.
- דוגמא
פתור את משוואת x4 - פי 102 + 9 = 0.
כדי לפתור את המשוואה, נשתמש בשינוי הלא ידוע הבא, ובכל פעם שהמשוואה תהיה ריבועית, אנו נבצע את השינוי הזה.
איקס2 = עמ '
מהמשוואה הדו-ריבועית, שים לב ש- x4 = (x2)2 ולכן עלינו:
איקס4 - פי 102 + 9 = 0
(איקס2)2 – 10איקס2 + 9 = 0
פ2 - 10p + 9 = 0
ראה שעכשיו יש לנו משוואה פולינומית של התואר השני ונוכל להשתמש בשיטה של בהאסקרה, כך:
עם זאת, עלינו לזכור שבתחילת התרגיל בוצע שינוי לא ידוע, לכן עלינו להחיל את הערך שנמצא בהחלפה.
איקס2 = עמ '
עבור p = 9 עלינו:
איקס2 = 9
x ’= 3
אוֹ
x '' = - 3
עבור p = 1
איקס2 = 1
x ’= 1
אוֹ
x '' = - 1
לכן, מערך הפתרונות של משוואת הביסקוור הוא:
S = {3, –3, 1, –1}
קרא גם: המכשיר המעשי של בריוט-רופיני - חלוקת פולינומים
משפט יסוד האלגברה (TFA)
משפט היסוד של האלגברה (TFA), שהוכח על ידי גאוס בשנת 1799, קובע כי לכל משוואת פולינום כדלקמן יש לפחות שורש מורכב אחד.
שורש משוואת הפולינום הוא הפיתרון שלה, כלומר הערך הלא ידוע הוא זה שהופך את השוויון לאמיתי. לדוגמא, למשוואה מדרגה ראשונה יש שורש שנקבע כבר, כמו גם למשוואה מדרגה שנייה, שיש לה לפחות שני שורשים, וביסקוור שיש לה לפחות ארבעה שורשים.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - קבע את הערך של x שהופך את השוויון לאמיתי.
2x - 8 = 3x + 7
פתרון הבעיה
שימו לב שכדי לפתור את המשוואה, יש צורך לארגן אותה, כלומר להשאיר את כל הלא ידועים בצד שמאל של השוויון.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
על פי עקרון השוויון, אנו יכולים להכפיל את שני צדי השוויון באותו מספר, ומכיוון שאנחנו רוצים לברר את הערך של x, נכפיל את שני הצדדים ב- -1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
שאלה 2 - למרקוס יש R $ 20 יותר מאשר לג'ואו. יחד הם מצליחים לקנות שני זוגות נעלי ספורט, בעלות של 80 דולר R לכל זוג וללא כסף. כמה רייס יש לג'ון?
פתרון הבעיה
קחו בחשבון שלמרק יש x reais, כמו שלג'ון יש 20 reais יותר, אז יש לו x + 20.
סימנים → x אמיתי
João → (x + 20) reais
איך הם קנו שני זוגות נעלי ספורט שעלותם 80 reais כל אחת, כך שאם נחבר את החלקים של כל אחד מהם, נצטרך:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
לכן, למארק היו 70 ריאות, ולג'ואו, 90 ריי.
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
