Prodotto interno tra due vettori

oh prodotto scalare tra due vettori è un numero reale che mette in relazione la grandezza di questi vettori, cioè la loro lunghezza, e l'angolo tra di loro. Per calcolarlo è quindi necessario conoscere le loro lunghezze e l'angolo che formano.

Usando il piano come base, un vettore indica una posizione, un'intensità, una direzione e una direzione. Pertanto, viene utilizzato negli studi di Meccanica (Fisica) come rappresentante di una forza applicata a un oggetto.

La rappresentazione usuale del vettore è una freccia che termina in un punto. Le coordinate di questo punto si dicono coordinate del vettore a partire dal punto O (0,0). Scriviamo v = (a, b) per rappresentarlo. Pertanto, il vettore v = (1,2) è disegnato come segue:

Esempio di vettore a partire dall'origine

Per calcolare la lunghezza di questo vettore, si consideri il triangolo rettangolo da esso formato e la sua proiezione sull'asse x (o y), come mostrato nella figura seguente:

Lunghezza del vettore v

La lunghezza di un vettore v si chiama

v vettore norma o modulo vettoriale v ed è rappresentato da |v|. Si noti che la norma del vettore v = (a, b) è proprio la misura dell'ipotenusa del triangolo rappresentato nella figura sopra. Per calcolare questa misura, usiamo il teorema di Pitagora:

|v|² = il² + b²

|v| = √(a² + b² )

Prodotto scalare a due vettori

Dati due vettori u e v, il prodotto interno tra di essi è rappresentato da ed è definito come:

= |u||v|·cosθ

Questa è una sorta di moltiplicazione tra due vettori, tuttavia, non è chiamata prodotto in quanto non è una moltiplicazione comune, poiché coinvolge l'angolo formato da questi due vettori.

Angolo tra due vettori

Il primo risultato derivante dalla definizione di cui sopra è l'angolo tra due vettori. Con i numeri reali “prodotto scalare”, “u vettore norma” e “v vettore norma”, è possibile calcolare l'angolo tra i vettori u e v. Per fare ciò, basta eseguire i calcoli:

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= |u||v|·cosθ

= cosθ
|u||v|

Quindi, dividendo il prodotto interno per le norme dei vettori u e v, troviamo il numero reale riferito al coseno tra questi due vettori e, quindi, l'angolo tra di essi.

Nota che se l'angolo tra due vettori è rettilineo, cosθ è uguale a zero. Pertanto, il prodotto di cui sopra avrà il seguente risultato:

= 0

Da ciò si può concludere che, dati due vettori u e v, saranno ortogonali se = 0.

Prodotto interno calcolato da coordinate vettoriali

Considerando i due vettori u = (a, b) e v = (c, d), il prodotto scalare tra u e v è dato da:

= = a·c + b·d

Proprietà interne del prodotto

Dati i vettori u, v e w e il numero reale α, si noti:

io) =

Ciò significa che il prodotto interno dei vettori è "commutativo".

ii) = +

Questa proprietà è paragonabile alla distributività della moltiplicazione sull'addizione.

iii) = = α

Calcolare il prodotto interno tra u e v moltiplicato per il numero reale α equivale a calcolare il prodotto interno tra αv e u o tra ve αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Il prodotto interno di v con v è zero solo se v è il vettore nullo.

v) ≥ 0 per tutti v.

Il prodotto interno di v con v sarà sempre maggiore o uguale a zero.

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica