Cos'è la trigonometria?

Trigonometria è una parola di origine greca che si riferisce alla misura di tre angoli. Gli studi in questo settore della matematica si concentrano su triangoli, che sono poligoni che hanno tre lati e, di conseguenza, tre angoli. In un primo momento, il trigonometria si tratta di studiare alcune proprietà e relazioni dei triangoli rettangoli per poi mettere in relazione le misure dei lati dei triangoli con le misure degli angoli.

Queste proprietà e relazioni sono espanse a qualsiasi triangolo tramite teoremi noti come legge sui peccati e legge del coseno. Successivamente, alcuni di questi risultati si osservano in triangoli i cui lati sono segmenti notevoli di un cerchio, noto come "cerchio trigonometrico".

IL trigonometria propone una grande novità. Prima di esso, era possibile considerare solo calcoli e proprietà riguardanti esclusivamente lati o esclusivamente angoli di un triangolo o relazioni di base tra questi elementi. Al suo arrivo è possibile mettere in relazione direttamente le misure dei lati di un triangolo con la misura di uno dei suoi angoli. È interessante notare che le relazioni tra i lati notevoli e i segmenti all'interno di un triangolo costituiscono anche il also

trigonometria.

Prima di approfondire il concetto di concept trigonometria, È importante sapere quali sono gli elementi più importanti in un triangolo rettangolo. Questi elementi sono riportati di seguito:

Elementi di un triangolo rettangolo

Ogni triangolo rettangolo può essere suddiviso in altri due triangoli rettangoli, come mostrato nella figura sottostante, tracciando l'altezza “h” relativa alla base “a”.

L'altezza di questo triangolo rettangolo forma due angoli di 90° con la sua base

Considerando il triangolo ABD, rettangolo in B, è possibile osservare i seguenti elementi:

1 – I lati AB e BD sono detti lati e le loro misure sono rispettivamente c e b;

2 – Il lato AD si chiama ipotenusa e la sua misura è a. Questo lato sarà sempre opposto all'angolo di 90°;

3 – BE è l'altezza del triangolo ABD rispetto alla base AD e la sua misura è h. (ricordando che l'altezza forma sempre un angolo di 90° con la base rispetto ad essa);

4 – AE è la proiezione ortogonale del cateto AB sull'ipotenusa. La sua misura è m;

5 – ED è la proiezione ortogonale del cateto BD sull'ipotenusa. La sua misura è n.

Successivamente, presentiamo e discutiamo alcune proprietà viste in trigonometria, basate sugli elementi del triangolo rettangolo sopra esposti.

Relazioni metriche nel triangolo rettangolo

Sono uguaglianze che mettono in relazione lati, altezza e proiezioni ortogonali di un triangolo rettangolo:

1) c² = media

2) b·c = a·h

3) h² =m·n

4) b² = no

5) il² = b² + c² (Teorema di Pitagora)

Rapporti trigonometrici o rapporti nel triangolo rettangolo

Queste uguaglianze mettono in relazione i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo con uno dei suoi angoli acuti. Per farlo è necessario fissare uno dei due angoli e osservare, nel triangolo rettangolo, le definizioni di lato opposto e lato adiacente:

Triangolo rettangolo, evidenziando l'angolo α

BD è il gamba opposta all'angolo α;

AB è il gamba adiacente all'angolo α.

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Questi sono i presupposti per definire il rapporti trigonometrici. Sono loro:

→ Seno di α

peccato α = cateto opposto α
Ipotenusa

→ Coseno di α

cos α = Catetere adiacente ad α
Ipotenusa

→ Tangente di α

tg α = cateto opposto α
Catetere adiacente ad α

Questi motivi si applicano a qualsiasi triangolo rettangolo che ha un angolo acuto uguale ad α. Il risultato di queste divisioni è sempre lo stesso, indipendentemente dalla lunghezza del lato del triangolo, come due triangoli che hanno due angoli uguali, a causa della somiglianza del triangolo angolo-angolo, hanno i lati proporzionali. Ne segue che il rapporto tra i lati è uguale.

cerchio trigonometrico

Chiamato anche ciclo trigonometrico o cerchio trigonometrico (nomi più corretti ma meno comuni), è un cerchio orientato di raggio 1. Su questa circonferenza, a triangolo rettangolo, il cui angolo α coincide con l'origine, in modo che l'altezza di questo triangolo vada dall'asse delle ascisse al bordo del cerchio.

Questa altezza coincide con il valore di seno, perché è il lato opposto all'angolo α. La misura che va dal punto in cui l'altezza incontra l'asse dell'ascissa all'origine coincide con il lato adiacente all'angolo α, cioè con il valore di coseno.

Queste coincidenze si verificano perché l'ipotenusa è sempre 1, poiché è il raggio del cerchio. Nota queste proprietà nell'immagine qui sotto:

Cerchio di raggio 1, sul quale viene posto un triangolo rettangolo per valutarne le proprietà

Qualunque sia il triangolo rettangolo costruito su quel cerchio, il lato che coincide con una parte dell'asse delle ascisse misura esattamente il valore del coseno di α e l'altro lato misura esattamente il seno di α.

Funzioni trigonometriche

Utilizzando il cerchio trigonometrico, è possibile definire funzioni trigonometriche che mettono in relazione ogni elemento dell'insieme dei numeri reali con un singolo elemento anche dell'insieme dei numeri reali. Tuttavia, questi numeri sono espressi in radianti, che è un'unità di misura in funzione di utilizzata perché, dopo 360° nel cerchio trigonometrico, il conteggio dei gradi e, di conseguenza, degli elementi di dominio e controdominio di una funzione basata su di esso può essere ricominciato da zero.

relazioni fondamentali

Le relazioni fondamentali della trigonometria sono:

1) Relazione fondamentale 1

Sen²α + cos²α = 1

2) tangente di α

tg α = peccato α
cos α

3) Cotangente di α, che è l'inverso della tangente di α

cog α = cos α
peccato α

4) Secante di α, che è l'inverso del coseno di α

sec α = 1
cos α

5) Cossecante di α, che è l'inverso del seno di α

cossec α = 1
peccato α

6) Relazione che nasce 1

tg²α + 1 = sec²α

7) Relazione 2

cotta²α + 1 = cossec²α

8) Relazione ricorrente 3

cog α = 1
tg α

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica

Vorresti fare riferimento a questo testo in un lavoro scolastico o accademico? Guarda:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Cos'è la trigonometria?"; Brasile Scuola. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm. Consultato il 27 giugno 2021.

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