voi numeri irrazionali causò grande inquietudine nei matematici per un lungo periodo. Oggi, già ben definito, conosciamo come numero irrazionale quello il cui la rappresentazione decimale è sempre un decimale non periodico. La caratteristica principale degli irrazionali, e ciò che li rende diversi dai numeri razionali, è che essi non può essere rappresentato da a frazione.
Lo studio dei numeri irrazionali è stato approfondito quando, nel calcolo di problemi che coinvolgono il teorema di Pitagora, sono state trovate radici non esatte. L'atto di cercare una soluzione a queste radici inesatte ha reso notevole l'esistenza di decime non esatte periodico, cioè di numeri la cui parte decimale è infinita e non ha una buona sequenza. definito. I principali numeri irrazionali sono i decimali non periodici, le radici non esatte e .
Leggi anche: Radice quadrata - caso di radicamento in cui l'indice radicale è 2
Insieme di numeri irrazionali
Prima dello studio dei numeri irrazionali, si studiavano gli insiemi di numeri
naturale, interi e razionali. Approfondendo lo studio del triangolo rettangolo, è diventato chiaro che ci sono alcune radici che non hanno una soluzione esatta., in particolare, è stato possibile vedere che le soluzioni radicali non esatte sono numeri note come decime non periodiche.In mezzo a questa inquietudine, molti matematici hanno cercato di dimostrare, senza successo, che le radici inesatte sono numeri razionali e che può essere rappresentato come una frazione, ma ciò che è stato realizzato è che questi numeri non possono essere rappresentati in questo modulo. Poiché, fino ad ora, l'insieme dei numeri razionali non includeva questi numeri, è sorta la necessità di creare un nuovo insieme, noto come insieme dei numeri irrazionali.
Un numero è irrazionale quando la sua rappresentazione decimale è un decimale non periodico. |
Cosa sono i numeri irrazionali?
Per essere un numero irrazionale, deve soddisfare la definizione, cioè il la sua rappresentazione decimale è un decimale non periodico. La caratteristica principale dei decimali non periodici è che non possono essere rappresentati per mezzo di una frazione, il che mostra che i numeri irrazionali sono l'opposto dei numeri razionali.
I numeri principali con questa caratteristica sono i radici non esatte.
Esempi:
a) √2
b) √5
c) 7
d) √13
Quando si cercano soluzioni radice non esatte, ovvero eseguendo la rappresentazione decimale di questi numeri, sempre troveremo un decimale non periodico, che rende questi numeri elementi dell'insieme di irrazionale.
Oltre alle radici non esatte, ci sono i decimali non periodici stessi, ad esempio, se calcoliamo radici non esatte, troveremo un decimale non periodico.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
I numeri irrazionali sono comunemente rappresentati da lettere greche, perché non è possibile scrivere tutte le sue cifre decimali.
Il primo è il π (leggi: pi), presente nel calcolo dell'area e del perimetro dei cerchi. Ha un valore pari a 3,1415926535…
Oltre a π, un altro numero molto comune è ϕ (leggi: fi). Si trova in problemi che coinvolgono il proporzione d'oro. Ha un valore pari a 1.618033...
Vedi anche: Cosa sono i numeri primi?
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numero razionale e irrazionale
Quando si analizzano i set di numeri, è importante distinguere tra numeri razionali e numeri irrazionali. L'unione di questi due insiemi forma uno degli insiemi più studiati in matematica, l'insieme dei reali, cioè l'insieme dei numeri reali è l'unione di numeri che possono essere rappresentati come frazioni (razionali) con numeri che non possono essere rappresentati come frazioni (irrazionali).
Nel set di numeri razionali, ci sono gli interi, i naturali, i decimali esatti e i decimali periodici.
Esempi di numeri razionali:
-60 → intero
2.5 → decimale esatto
5.1111111… → decimale periodico
I numeri irrazionali sono decimali non periodici, quindi non esiste un numero razionale e irrazionale allo stesso tempo.
Esempio di numeri irrazionali:
1,123149… → decima non periodica
2.769235… → decima non periodica
Operazioni con numeri irrazionali
addizione e sottrazione
IL addizione e il sottrazione di due numeri irrazionali è di solito appena rappresentato, a meno che non venga utilizzata un'approssimazione decimale di questi numeri, ad esempio:
a) 6 + √5
b) √6 – √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Non possiamo aggiungere o sottrarre i valori a causa dei radicali, quindi abbiamo appena lasciato l'operazione indicata.
Nelle rappresentazioni decimali, inoltre, non è possibile eseguire la somma esatta, quindi per sommare due numeri irrazionali occorre un'approssimazione razionale., e questa rappresentazione viene scelta in base alla necessità di precisione di questi dati. Più cifre decimali consideriamo, più ci avviciniamo alla somma esatta che otteniamo.
Osservazione:l'insieme dei numeri irrazionali non è chiuso all'addizione o alla sottrazione, ciò significa che la somma di due numeri irrazionali può risultare in un numero non razionale. Ad esempio, se calcoliamo la differenza di un numero irrazionale per il suo opposto, dobbiamo:
a) √2 – √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Sappiamo che 0 non è un numero irrazionale.
Moltiplicazione e divisione
La moltiplicazione e divisione di numeri irrazionali può essere fatto se la rappresentazione è a radicamento, tuttavia, come l'addizione, nella rappresentazione decimale, cioè moltiplicando o dividendo due decimali, è richiesta un'approssimazione razionale di questo numero.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: 2 = √16 = 4
Nota anche che, nell'esempio b, 4 è un numero razionale, il che significa che la moltiplicazione e la divisione di due numeri irrazionali non sono chiuse, cioè possono avere un risultato razionale.
esercizi risolti
Domanda 1 - Rivedere i seguenti numeri:
I) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) √36
VI) √12
Questi sono numeri irrazionali:
A) Solo I, IV e V
B) Solo II, III e VI
C) Solo II, IV e VI
D) Solo I, II, III e VI
E) Solo III, IV, V e VI
Risoluzione
Alternativa B
I → il numero è decimale esatto, razionale.
II → il numero è un decimale non periodico e irrazionale.
III → π è irrazionale, e anche il suo doppio, cioè 2π, è irrazionale.
IV → il numero è un decimale periodico razionale.
V → radice esatta e razionale.
VI → radice non esatta, irrazionale.
Domanda 2 - Si prega di giudicare le seguenti affermazioni:
I – L'insieme dei numeri reali è l'unione di razionale e irrazionale;
II – La somma di due numeri irrazionali può essere un numero razionale;
III – Le decime sono numeri irrazionali.
Analizzando le affermazioni, possiamo dire che:
A) Solo l'affermazione I è vera.
B) Solo l'affermazione II è vera.
C) Solo l'affermazione III è vera.
D) Solo le affermazioni I e II sono vere.
E) Tutte le affermazioni sono vere.
Risoluzione
Alternativa D
I → Vero, perché la definizione dell'insieme dei numeri reali è l'unione tra razionale e irrazionale.
II → Vero, quando aggiungiamo un numero al suo opposto, avremo come risultato il numero 0, che è razionale.
III → Le decime false e non periodiche sono irrazionali.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
