oh minimo comune multiplo (MMC) tra due interi xey è il più piccolo intero multiplo di xey contemporaneamente. In questo modo, c'è almeno un modo per trovare il MMC tra due numeri x e y: cerca negli insiemi dei multipli di x e y il più piccolo elemento comune. Naturalmente, esiste un metodo pratico per trovare questo numero, che verrà discusso di seguito. Tuttavia, è necessario comprendere bene il concetto di multipli di un intero.
Cosa sono i multipli?
Un intero k si chiama a multiplo di x se esiste un numero naturale n tale che n·x = k. Prendiamo l'esempio del numero 110. egli è multiplo di 10, poiché 110 è il risultato della moltiplicazione di 10 per il numero naturale 11.
In questo modo è possibile identificare se l'intero k è multiplo di x per tentativi ed errori o eseguendo l'operazione inversa della moltiplicazione (divisione). Il numero k è multiplo di x se esiste un numero naturale n tale che:
n = K
X
In altre parole, per scoprire se 110 è un multiplo di 10, dividi 110 per 10. Se il risultato trovato è un numero naturale, 110 è un multiplo di 10; altrimenti, n.
Poiché l'insieme dei numeri naturali è infinito, l'insieme di multipli di ogni intero è anche infinito. Tuttavia, per risolvere esercizi che coinvolgono più e MMC, è bene scrivere una lista dei primi multipli di un numero per avere una migliore analisi del comportamento dei suoi multipli.
Di seguito è riportato un elenco dei primi 10 multipli di 8, 10, 12, 20 e 40. Sono i primi 10 perché sono il risultato della moltiplicazione di questi numeri per i primi 10 numeri naturali.
10 primi naturali: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Multipli di 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Multipli di 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Multipli di 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Multipli di 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Minimo comune multiplo
Per trovare il minimo comune multiplo tra due numeri, trova il multiplo minore che hanno in comune. La prima tecnica utilizzata per trovare il mmc è cercarlo tra multipli dei due numeri. Guarda l'esempio:
Il minimo comune multiplo tra 10 e 12 è 60, perché tra i multipli di 10 e 12, 60 è il numero più piccolo multiplo di entrambi. Orologio:
Multipli di 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Per questi due numeri, che sono piccoli, è facile trovare l'MMC. Ma che dire quando è richiesto il calcolo di MMC tra 256 e 384? Saranno necessarie numerose e faticose moltiplicazioni se si vuole procedere con questo metodo. Per questo, c'è un metodo pratico che sarà discusso di seguito.
Metodo di scomposizione per il calcolo di MMC
Per calcolare il minimo comune multiplo tra due numeri, puoi fare il decomposizione in fattori primi loro. Ad esempio, le scomposizioni in fattori primi di 10 e 12 sono:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Nota: ogni volta che compaiono fattori ripetuti, scrivili in forma di potenza, come è stato fatto nella scomposizione del numero 12.
La MMC tra 10 e 12 sarà il prodotto dei fattori primi, ad eccezione dei fattori ripetitivi che hanno l'esponente più piccolo. Il minimo sarà quindi:
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22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Si noti che il fattore 2, dalla scomposizione del numero 10, è stato ignorato, poiché lo stesso fattore, dalla scomposizione del numero 12, è stato al quadrato.
Ciò semplifica il calcolo della MMC tra 256 e 384. Guarda:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC sarà il prodotto 28·3 = 256·3 = 768.
Esempio 2: MMC tra 768 e 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
La MMC sarà il prodotto: 29·32.
Esempio 3: Calcola l'MMC tra 2700 e 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Notare che i fattori sono 2, 3 e 5. Quelli con gli esponenti più alti sono 29, 33 e 52. Quindi l'MMC sarà:
29·33·52 = 345600
Metodo pratico per calcolare MMC
È possibile notare che per scomporre i numeri in fattori primari, è necessario dividerli per il primo divisore più piccolo possibile e ignorare ancora i fattori che si ripetono nella stessa divisione. Esiste un metodo in grado di svolgere questo compito. Per insegnarti, useremo l'esempio di MMC tra 1000 e 1024.
Scrivi questi due numeri fianco a fianco, separati da una virgola, e passa un tratto laterale verticale a destra di essi:
1000, 1024 |
|
|
A destra di quella traccia, scrivi il numero primo più piccolo che divide almeno uno tra 1000 e 1024. In questo caso, il numero è 2 e divide entrambi.
1000, 1024 | 2
|
|
Appena sotto ciascuno di essi, scrivi il risultato della tua divisione per 2 e, per questi risultati, ripeti la procedura sopra fino a quando non sarà più possibile dividere nessuno dei due numeri per 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Nota che ad un certo punto troviamo il risultato 125 nella colonna 1000, ma 125 non è divisibile per 2. Nella colonna numero 1024, otteniamo solo risultati divisibili per 2. In questo caso, continuiamo a dividere i numeri nella colonna 1024 per 2 e ripetiamo il numero 125.
Quando i numeri in entrambe le colonne 1000 e 1024 non sono più divisibili per 2, prova il prossimo primo: il numero 3. Quando non ci sono più divisori di 3, prova il prossimo e così via fino ad ottenere il risultato “1,1”. Nel caso dell'esempio, 125 non è divisibile per 3, ma per 5, quindi ripeteremo il processo mettendo 5 a destra del trattino. Orologio:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Fatto ciò, moltiplica i fattori trovati a destra della linea verticale:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Esempio 2: Calcola la MMC tra 432 e 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
L'MMC sarà: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Per calcolare la MMC di tre o più numeri, usa semplicemente il metodo pratico discusso qui, mettendo tutti questi numeri uno accanto all'altro.
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
