Immagina di giocare con le biglie per formare triangoli. Puoi prima considerare che una palla è come un piccolo triangolo:
•
Quindi metti due biglie sotto di loro e forma i tre vertici di a triangolo:
•
• •
Se metti altre tre palline al di sotto di queste, formerà un altro triangolo:
•
• •
• • •
Ad ogni passaggio di aggiunta delle palline in relazione alla quantità precedentemente posizionata, ci sarà sempre la formazione di triangoli. Guarda il triangolo formato aggiungendo altre quattro palline:
•
• •
• • •
• • • •
Il numero totale di palline in ogni passaggio caratterizza una classe di numeri chiamata numeri triangolari. Il matematico Karl Friedrich Gauss scoprì una formula per indicare la quantità totale in ogni triangolo, dove S1corrispondeva al primo triangolo, S2, al secondo triangolo, e così via. Le somme descritte da Gauss iniziavano con un e, in ogni fase veniva aggiunto un numero che corrispondeva a un'unità sopra l'ultimo numero aggiunto:
S1 = 1
S2= 1 + 2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
S4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
I risultati di queste somme erano i numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15... Nota che c'è un modello stabilito in ciascuna di queste somme. Guardando con attenzione, possiamo vedere che ognuno di loro è un progressione aritmetica della ragione 1. Quindi ecco il somma di gauss, che stabilisce che, in una somma a rapporto costante, se aggiungiamo il primo elemento all'ultimo, otterremo lo stesso risultato dell'aggiunta del secondo elemento al penultimo. Vediamo come avviene il processo di somma di Gauss per le somme. S6 e S7:
Processo di somma di Gauss applicato alla somma di numeri triangolari
Non fermarti ora... C'è dell'altro dopo la pubblicità ;)
se ti fermi S6 e S7 abbiamo le somme dall'immagine sopra, riproduciamo questa somma per S8, S9, S10 e S11:
S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
S9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
S10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
S11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Possiamo generalizzare per ottenere una somma per Sno:
Sno = n. (n+1), se n è pari
2
Sno = (n - 1).(n+1) + (n-1) + 1, se n è dispari
2 2
proprio come in numero magico, possiamo mostrare un altro fatto interessante sui numeri triangolari: la somma dei successivi numeri triangolari risulta sempre in numeri che possono essere classificati come quadrati perfetti, cioè numeri che hanno radice quadrato. Vediamo:
S1 + S2 = 1 + 3 = 4
S2 + S3 = 3 + 6 = 9
S3 + S4 = 6 + 10 = 16
S4 + S5 = 10 + 15 = 25
S5 + S6 = 15 + 21 = 36
S6 + S7 = 21 + 28 = 49
S7 + S8 = 28 + 36 = 64
S8 + S9 = 36 + 45 = 81
S9 + S10 = 45 + 55 = 100
S10 + S11 = 55 + 66 = 121
I risultati ottenuti, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 121, sono tutti quadrati perfetti.
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
Vorresti fare riferimento a questo testo in un lavoro scolastico o accademico? Aspetto:
RIBEIRO, Amanda Goncalves. "Numeri triangolari"; Brasile Scuola. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Consultato il 27 luglio 2021.
