Il set di numeri primi è oggetto di studio in matematica dall'antica Grecia. Euclide, nella sua grande opera “Gli Elementi”, ha già affrontato l'argomento, riuscendo a dimostrare che questo impostato è infinito. Come sappiamo, i numeri primi sono quelli che hanno come divisore il numero 1 e se stessi, quindi, trovare numeri primi molto grandi non è un compito facile, e il crivello di Eratostene lo rende facile. incontro.
Come si fa a sapere quando un numero è primo?
Sappiamo che un numero primo è achi ha come divisore il numero 1 e se stesso, quindi un numero che, nella sua lista di divisori, ha numeri diversi da 1 e di per sé non sarà primo, vedi:
Elencando i divisori 11 e 30, abbiamo:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Nota che il numero 11 ha solo il numero 1 e se stesso come divisori, quindi il il numero 11 è un numero primo. Ora, guarda i divisori del numero 30, ha, oltre al numero 1 e a se stesso, i numeri 2, 3, 5, 6 e 10 con divisori. Perciò, il numero 30 non è primo.
→ Esempio: Elenca i numeri primi inferiori a 15.
Per questo, elencheremo i divisori di tutti i numeri compresi tra 2 e 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Quindi, i numeri primi minori di 15 sono:
2, 3, 5, 7, 11 e 13
Diciamocelo, questo compito non sarebbe molto piacevole, ad esempio, se dovessimo annotare tutti i numeri primi compresi tra 2 e 100. Per evitarlo, impareremo ad usare, nel prossimo argomento, il crivello di Eratostene.
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Crivello di Eratostene
Il crivello di Eratostene è un strumento che mira a facilitare la determinazione dei numeri primi. Il setaccio si compone di quattro passaggi, ed è necessario, per comprenderli, tenere a mente i criteri di divisibilità. Prima di iniziare il passo passo, dobbiamo creare una tabella dal numero 2 al numero desiderato, poiché il numero 1 non è primo. Poi:
→ Passo 1: Dal criterio di divisibilità per 2, si ha che i numeri pari sono tutti divisibili per esso, cioè il il numero 2 apparirà nell'elenco dei divisori, quindi questi numeri non saranno primi e dobbiamo escluderli dal tavolo. Sono loro:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Passo 2: Dal criterio di divisibilità per 3, sappiamo che un numero è divisibile per 3 se il somma delle sue cifre lo è anche. Quindi, dobbiamo escludere questi numeri dalla tabella, poiché non sono primi perché c'è un numero diverso da 1 e da se stesso nell'elenco dei divisori. Quindi, dobbiamo escludere i numeri:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Passaggio 3: Dal criterio di divisibilità per 5, sappiamo che tutti i numeri che terminano con 0 o 5 sono divisibili per 5, quindi dobbiamo escluderli dalla tabella.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Passaggio 4: Allo stesso modo, dobbiamo escludere i numeri multipli di 7 dalla tabella.
14, 21, 28, …, 546, …
– Conoscendo il crivello di Eratostene, determiniamo i numeri primi tra 2 e 100.
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98 |
99 |
100 |
→ non sono cugini
→ numeri primi
Quindi i numeri primi compresi tra 2 e 100 sono:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Leggi anche: Calcolo MMC e MDC: come si fa?
Decomposizione in fattori primi
IL decomposizione in fattori primi è formalmente noto come teorema fondamentale dell'aritmetica. Questo teorema afferma che qualunque numero intero diverso da 0 e maggiore di 1 può essere rappresentato dal prodotto dei numeri primi. Per determinare la forma fattorizzata di un intero, dobbiamo eseguire divisioni successive fino a raggiungere il risultato uguale a 1. Vedi l'esempio:
→ Determinare la forma fattorizzata dei numeri 8, 20 e 350.
Per scomporre il numero 8, dobbiamo dividerlo per il primo numero primo possibile, in questo caso per 2. Quindi, eseguiamo un'altra divisione anche per l'eventuale primo, questo processo viene ripetuto fino a raggiungere il numero 1 come risposta alla divisione. Guarda:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Pertanto, la forma fattorizzata del numero 8 è 2 · 2 · 2 = 23. Per facilitare questo processo, adotteremo il seguente metodo:
Pertanto, il numero 8 può essere scritto come: 23.
→ Per fattorizzare il numero 20, utilizzeremo lo stesso metodo, ovvero: dividerlo per numeri primi.
Quindi il numero 20, nella sua forma fattorizzata, è: 2 · 2 · 5 o 22 · 5.
→ Allo stesso modo, faremo con il numero 350.
Pertanto, il numero 350, nella sua forma fattorizzata, è: 2 · 5 · 5 · 7 o 2 · 52 · 7.
Vedi anche: Notazione scientifica: a cosa serve?
esercizi risolti
domanda 1 – Semplificare l'espressione:
Soluzione
Innanzitutto, fattorizziamo l'espressione per renderlo più semplice.
Quindi, 1024 = 210, e quindi possiamo sostituire l'uno con l'altro nell'espressione dell'esercizio. Così:
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
