calcolare il fattoriale di un numero ha senso solo quando lavoriamo con numeri naturali. Questa operazione è abbastanza comune in analisi combinatoria, facilitando il calcolo di disposizioni, permutazioni, combinazioni e altri problemi che coinvolgono il conteggio. Il fattoriale è rappresentato dal simbolo “!”. Lo definiamo n! (n fattoriale) a moltiplicazione di n per tutti i suoi predecessori fino a raggiungere 1. no! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Leggi anche: Principio fondamentale del conteggio - concetto principale di analisi combinatoria
Che cos'è il fattoriale?
Il fattoriale è un'operazione molto importante per lo studio e lo sviluppo dell'analisi combinatoria. In matematica, il numero seguito da simbolo esclamativo (!) è noto come fattoriale, ad esempio x! (x fattoriale).
Sappiamo come fattoriale di a numero naturale Il moltiplicando questo numero per i suoi predecessori tranne lo zero, cioè:
no! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
È interessante notare che, affinché questa operazione abbia senso,
calcolo fattoriale
Per trovare il fattoriale di un numero basta calcolare il prodotto. Si noti inoltre che il fattoriale è un'operazione che, quando aumentare il valore di n, il risultato aumenterà anche molto.
Esempi:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Per definizione abbiamo:
0! = 1
1! = 1
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Operazioni fattoriali
Per risolvere operazioni fattoriali è importante fare attenzione a non commettere errori. Quando andremo ad aggiungere, sottrarre o moltiplicare due fattoriali, è necessario calcolarli separatamente. Solo la divisione dispone di modalità specifiche per effettuare semplificazioni. Non commettere l'errore di eseguire l'operazione e mantenere il fattoriale, sia per addizione e sottrazione che per moltiplicazione.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Quando risolviamo una di queste operazioni, dobbiamo calcolare ciascuno dei fattoriali.
Esempi:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Vedi anche: Come risolvere l'equazione con il fattoriale?
Semplificazione fattoriale
Le divisioni sono abbastanza ricorrenti. Nelle formule di combinazione, disposizione e permutazione con ripetizione, ricorreremo sempre alla semplificazione per risolvere problemi che coinvolgono fattoriali. Per questo, seguiamo alcuni passaggi.
Esempio:
1° passo: identificare il più grande dei fattoriali, in questo caso è 8!Ora, guardando il denominatore, che è 5!, scriviamo la moltiplicazione di 8 per i suoi predecessori fino ad arrivare a 5!.
Il fattoriale di un numero n, cioè n!, può essere riscritto come moltiplicazione di n per k!. Così,
no! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, quindi riscriviamo 8! come la moltiplicazione da 8 a 5!.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Quindi riscriviamo la ragione come:
2° passo: dopo aver riscritto il Motivo, è possibile semplificare il numeratore con il denominatore, poiché 5! è sia al numeratore che al denominatore. Dopo la semplificazione, basta eseguire la moltiplicazione.
Esempio 2:
Analisi combinatoria e fattoriale
Quando si esegue il ulteriore studio in analisi combinatoria, il fattoriale di un numero apparirà sempre. I principali raggruppamenti nell'analisi combinatoria, che sono permutazione, combinazione e disposizione, usano il fattoriale di un numero nelle loro formule.
Permutazione
IL permutazione e il riordino di tutti gli elementi di un insieme. Per calcolare una permutazione si ricorre al fattoriale, in quanto la permutazione di n elementi si calcola con:
Pno = n!
Esempio:
Quanti anagrammi possiamo costruire con il nome HEITOR?
Questo è un tipico problema di permutazione. Essendoci 6 lettere nel nome, per calcolare il numero di possibili anagrammi basta calcolare P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Accedi anche a: Permutazione con elementi ripetuti: come risolverla?
arrangiamenti
Calcolare arrangiamenti richiede anche la padronanza del fattoriale di un numero. L'arrangiamento, come la permutazione, è la formazione di un riordino. La differenza è, nell'arrangiamento, stiamo riordinando parte del set, cioè vogliamo sapere quanti possibili riordinamenti possiamo formare scegliendo una quantità k di uno impostato con n elementi.
Esempio:
In una società ci sono 6 candidati alla gestione dell'ente, e due saranno selezionati per le posizioni di direttore e vicedirettore. Sapendo che saranno eletti con il voto, quanti risultati possibili ci sono?
In questo caso, calcoleremo la disposizione di 6 presa da 2 per 2, poiché ci sono 6 candidati per due posti vacanti.
Combinazione
Nella combinazione, come negli altri, è necessario padroneggiare il fattoriale di un numero. Definiamo come combinazione voi sottoinsiemi di un insieme. La differenza è che, nella combinazione, non c'è riordino, perché l'ordine non è importante. Quindi stiamo calcolando quanti sottoinsiemi con k elementi possiamo formare in un insieme di n elementi.
Esempio:
Verrà scelto un comitato di 3 studenti per rappresentare la classe. Sapendo che ci sono 5 candidati, quante commissioni si possono formare?
Leggi anche: Arrangiamento o combinazione?
Esercizi risolti
Domanda 1 - Riguardo al fattoriale di un numero, giudica le seguenti affermazioni.
IO). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Solo io è vero.
B) Solo II è vero.
C) Solo III è vero.
D) Solo I e II sono veri.
E) Solo II e II sono vere.
Risoluzione
Alternativa A.
io) Vero.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Falso.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Falso.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Domanda 2 - (UFF) Il prodotto 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 equivale a?
A) 20:2
B) 2·10!
C) 20:210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Risoluzione
Alternativa D.
Guardando il prodotto di tutti i numeri pari da 2 a 20, sappiamo che:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Quindi possiamo riscrivere come 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
