Risolvendo un'equazione di 1° grado otteniamo un risultato (questo risultato è un valore numerico che, sostituendo l'incognita con esso, si arriva a un'uguaglianza numerica), questo può essere chiamato la radice dell'equazione o l'insieme di verità o l'insieme delle soluzioni del equazione. Vedi l'esempio:
2x - 10 = 4 è un'equazione di primo grado.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
2
S = 7
Pertanto, 7 è il vero insieme dell'equazione, soluzione o radice dell'equazione 2x - 10 = 4.
Se sostituiamo la x (sconosciuta) con la radice, raggiungeremo un'uguaglianza numerica, vedi:
2. 7 - 10 = 4
14 – 10 = 4
4 = 4 è un'uguaglianza numerica, prendiamo la prova reale che 7 è la radice dell'equazione.
È attraverso questo vero insieme che identifichiamo le equazioni equivalenti, perché quando l'insieme la verità di un'equazione è uguale all'insieme della verità di un'altra equazione diciamo che entrambe sono equazioni equivalenti. Quindi, possiamo definire equazioni equivalenti come:
Due o più equazioni sono equivalenti solo se il loro insieme di verità è uguale.
Guarda un esempio di equazione equivalente:
Date le equazioni 5x = 10 e x + 4 = 6. Per verificare se sono equivalenti, bisogna prima trovare l'insieme di verità per ciascuno.
5x = 10x + 4 = 6
x = 10: 5 x = 6 - 4
x = 2 x = 2
Le due soluzioni sono uguali, quindi possiamo dire che le equazioni 5x = 10 e x + 4 = 6 sono equivalenti.
Se eguagliassimo le due equazioni a zero, sarebbero così:
5x = 10x + 4 = 6
5x – 10 = 0 x + 4 – 6 = 0
x – 2 = 0
Quindi possiamo dire che: 5x – 10 = x – 2 e 5x = 10 e x + 4 = 6 sono equivalenti, i due modi di rispondere significano la stessa cosa.
Come si passa da un'equazione a un'equazione ad essa equivalente? Per questo abbiamo bisogno di usare i principi di uguaglianza, questi principi sono usati sia per trovare equazioni equivalenti che per qualsiasi tipo di uguaglianza matematica.
Principi di uguaglianza
►Principio additivo di uguaglianza.
Questo principio dice che in un'uguaglianza matematica se aggiungiamo lo stesso valore ai due membri di un'equazione, otterremo un'equazione equivalente all'equazione data. Vedi l'esempio:
Data l'equazione 3x – 1 = 8. Se aggiungiamo 5 ai due membri della tua uguaglianza, avremo:
3x - 1 + 5 = 8 + 5
3x + 4 = 13 arriviamo a un'altra equazione.
Secondo il principio additivo di uguaglianza, le due equazioni sono equivalenti. Se troviamo le radici delle due equazioni, troviamo che sono uguali, allora diremo cosa dice questo principio che le due sono equivalenti. Vedi il calcolo delle sue radici:
3x – 1 = 8 3x + 4 = 13
3x = 8 + 1 3x = 13 - 4
3x = 9 3x = 9
x = 9: 3 x = 9: 3
x = 3 x = 3
►Principio moltiplicativo di uguaglianza.
Questo principio dice che quando moltiplichiamo o dividiamo i due membri dell'uguaglianza per lo stesso numero, finché questo è diverso da zero, otterremo un'altra equazione che sarà equivalente all'equazione dato. Vedi l'esempio:
Data l'equazione x – 1 = 2, un modo per trovare un'equazione equivalente è usare il principio moltiplicativo di uguaglianza. Se moltiplichiamo i due membri di questa uguaglianza per 4, abbiamo:
4. (x – 1) = 2. 4
4x – 4 = 8 arriviamo ad un'altra equazione che è equivalente all'equazione x – 1 = 2.
Sappiamo già che le loro equazioni sono equivalenti se le loro radici sono uguali. Quindi calcoliamo le radici dall'esempio sopra, per vedere se sono davvero equivalenti.
x – 1 = 2 4x – 4 = 8
x = 2 + 1 4x = 8 + 4
x = 3 4x = 12
x = 12: 4
x = 3
Le radici sono uguali, quindi confermiamo il principio moltiplicativo di uguaglianza.
di Danielle de Miranda
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Equazione - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-1-grau-equivalentes.htm
