Il trinomio quadrato perfetto è il 3° caso di fattorizzazione di espressioni algebriche. Può essere utilizzato solo quando l'espressione algebrica è un trinomio (polinomio con tre monomi) e questo trinomio forma un quadrato perfetto.
cos'è il trinomio?
Trinomio è un polinomio che ha tre monomi senza termini simili, vedi esempi:
3x2 + 2x + 1
20x3 + 5x - 2x2
2ab +5b + 3c
Non tutti i trinomi precedenti possono essere scomposti utilizzando il quadrato perfetto.
cos'è il quadrato perfetto?
Per capire meglio cos'è il quadrato perfetto, vedi:
Possiamo considerare un numero un quadrato perfetto? Sì, basta che questo numero sia il risultato di un altro numero al quadrato, per esempio: 25 è un quadrato perfetto, perché 52 = 25.
Ora dovremmo applicarlo a un'espressione algebrica, guarda il quadrato sottostante con i lati x + y, il valore di quel lato è un'espressione algebrica.
Per calcolare l'area di questo quadrato possiamo seguire due diversi modi:
1° modo: la formula per calcolare il area quadrata è A = Lato
IL1 = (x + y)2
Il risultato di quest'area A1 = (x + y)2 è un quadrato perfetto.
2° modo: questo quadrato è stato diviso in quattro rettangoli dove ognuno ha la sua area, quindi la somma di tutte queste aree è l'area totale del quadrato più grande, quindi:
IL2 = x2 + xy + xy + y2, poiché xy e xy sono simili possiamo aggiungerli
IL2 = x2 +2xy + y2
Il risultato dell'area A2 = x2 +2xy + y2 è un trinomio.
Le due aree trovate rappresentano l'area dello stesso quadrato, quindi:
IL1 = A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2
Quindi il trinomio x2 +2xy + y2 avere come quadrato perfetto (x + y)2.
Quando abbiamo un'espressione algebrica ed è un trinomio del quadrato perfetto, la sua forma fattorizzata è rappresentata come un quadrato perfetto, vedi:
il trinomio x2 +2xy + y2 fattorizzato è (x + y)2.
Come identificare un trinomio quadrato perfetto
Come già detto, non tutti i trinomi possono essere rappresentati nella forma di un quadrato perfetto. Ora, quando viene dato un trinomio come identificheremo se è un quadrato perfetto o no?
Perché un trinomio sia un quadrato perfetto, deve avere alcune caratteristiche:
• Due termini (monomie) del trinomio devono essere quadrati.
• Un termine (monomio) del trinomio deve essere il doppio delle radici quadrate degli altri due termini.
Vedi un esempio:
Vedi se il trinomio 16x2 + 8x + 1 è un quadrato perfetto, quindi segui le regole sopra:
Due membri del trinomio hanno radici quadrate e raddoppiarle è il termine medio, quindi il trinomio 16x2 + 8x + 1 è il quadrato perfetto.
Quindi la forma fattorizzata del trinomio è 16x2 + 8x + 1 è (4x + 1)2, poiché è la somma delle radici quadrate.
Vedi alcuni esempi:
Esempio 1:
Dato il trinomio m2 – m n + n2, dobbiamo sradicare i termini m2 e non2, le radici saranno m e n, il doppio di queste radici sarà 2. m. n che è diverso dal termine m n (termini), quindi questo trinomio non è un quadrato perfetto.
Esempio 2:
Dato il trinomio 4x2 – 8xy + y2, dobbiamo prendere le radici dei termini 4x2 e si2, le radici saranno rispettivamente 2x e y. Il doppio di queste radici deve essere 2. 2x. y = 4xy, che è diverso dal termine 8xy, quindi questo trinomio non può essere scomposto usando il quadrato perfetto.
Esempio 3:
Dato il trinomio 1+92 – 6°.
Dobbiamo, prima di usare le regole del quadrato perfetto, posizionare il trinomio in ordine crescente di esponenti, così:
9°2 – 6° + 1.
Ora, prendiamo la radice dei termini 9a2 e 1, che saranno rispettivamente 3a e 1. Il doppio di queste radici sarà 2. 3°. 1 = 6a, che è uguale al termine medio (6a), quindi concludiamo che il trinomio è quadrato perfetto e la sua forma fattorizzata è (3a – 1)2.
di Danielle de Miranda
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm