Le permutazioni fanno parte dei problemi di conteggio. Usiamo le permutazioni per conoscere il numero di ordini degli elementi in un insieme. Esercita le tue conoscenze sulla permutazione e risolvi i tuoi dubbi con gli esercizi risolti.
Esercizio 1
Due amici stavano giocando con i dadi a sei facce. È noto che sono usciti i numeri 4, 1, 2 e 5, non necessariamente in quest'ordine. Quante sequenze di risultati avrebbero potuto esserci?
Risposta: 24
Un certo ordinamento dei risultati potrebbe essere:
1, 2, 4 e 5 o
5, 4, 5 e 1 o
4, 5, 1 e 2
Per determinare il numero totale di ordinamenti possibili, calcoliamo una permutazione con quattro elementi distinti.
Esercizio 2
Un gruppo di sei amici è andato a vedere un film al cinema e ha acquistato i biglietti per la stessa fila di posti. Considerando che c'è una coppia e si sono seduti sulle sedie vicine, in quanti modi questi amici potrebbero stare nella fila di sedie?
Risposta: 240
Poiché nel calcolo vengono considerati tutti gli elementi dell'insieme "amici", si tratta di un problema di permutazione.
Per calcolare il numero totale di permutazioni possibili abbiamo considerato 5 elementi, poiché la coppia deve stare sempre insieme.
Inoltre, di queste 120 possibilità, bisogna moltiplicarle per due, poiché gli sposi possono scambiarsi di posto.
Pertanto, il numero di modi possibili in cui gli amici possono organizzarsi nella fila di sedie è:
120. 2 = 240
Esercizio 3
Una classe di 7 studenti gioca nel cortile approfittando della pausa. Udito il segnale che avvisa del ritorno nelle aule, gli studenti si dispongono in fila. In quanti modi diversi gli studenti possono formare la sequenza della coda?
Risposta: 5040
Il numero totale di modi possibili per organizzare la coda è una permutazione di 7 elementi distinti.
Esercizio 4
Un fotografo aggiusta la sua macchina fotografica per fotografare 5 bambini disposti su una panchina. In questo gruppo ci sono 3 ragazze e 2 ragazzi. Una possibile disposizione dei bambini per la foto sarebbe:
Considerando le posizioni in cui i bambini possono sedersi sulla panchina, in quanti modi il fotografo può organizzare i ragazzi e le ragazze, ottenendo foto diverse?
Risposta: 10
Questo è un caso di permutazione con elementi ripetuti. Dobbiamo dividere il numero totale di permutazioni per il prodotto tra le permutazioni degli elementi che si ripetono.
Esercizio 5
Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola PREFEITURA?
Risposta: 907 200
La parola CITY HALL è composta da 10 lettere, alcune delle quali si ripetono. La lettera E appare due volte, così come la R.
Calcoliamo la divisione tra la permutazione di 10 elementi e la dividiamo per il prodotto delle permutazioni di elementi ripetuti.
Esercizio 6
(UEMG 2019) Dall'insieme di tutte le permutazioni delle lettere della parola PONTA se ne estrae una a caso. Qual è la probabilità di eliminare una parola che inizia e finisce con una vocale?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Passo 1: numero di tutte le permutazioni con le lettere della parola PONTA.
Poiché ci sono cinque lettere distinte, abbiamo:
Passo 2: numero di permutazioni che iniziano e finiscono con una vocale.
Per la prima lettera ci sono due opzioni vocali, per l'ultima lettera ce ne sarà solo 1.
Per le consonanti ce ne sono 3! possibilità.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Passaggio 3: determinare il rapporto di probabilità.
Esercizio 7
(EsPCex 2012) La probabilità di ottenere un numero divisibile per 2 scegliendo a caso una delle permutazioni delle cifre 1, 2, 3, 4, 5 è
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Passo 1: permutazioni totali.
Poiché gli elementi distinti sono cinque, abbiamo che il numero di permutazioni di 5 elementi è pari a 5 fattoriale.
Passo 2: permutazioni di numeri divisibili per due con le cinque cifre.
Per essere divisibile per 2 la condizione è che sia pari. Pertanto, ci sono due opzioni per l'ultima cifra, 2 e 4.
Per le altre posizioni ce ne sono 4! possibilità.
Passaggio 3: calcolo delle probabilità.
Esercizio 8
(EsFCEx 2022) Sia P l'insieme delle permutazioni della sequenza 1, 3, 6, 9, 12 per le quali il primo termine è diverso da 1. Se una di queste sequenze viene estratta casualmente, la probabilità che il secondo termine sia 3 è pari a p/q, con p, q ∈ IN* e mcd (p, q) = 1. Pertanto, q – p è uguale a
a) 13.
b)15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Passo 1: determina il numero totale di casi possibili nello spazio campionario.
Da destra a sinistra, il primo numero non può essere uno, quindi ci sono 4 possibilità per occupare la prima posizione.
Ce ne sono 4 ad occupare le altre posizioni! possibilità.
Le permutazioni sono:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Passo 2: determinare le possibilità che si verifichi l'evento, la seconda essendo tre, la prima diversa da una.
Le permutazioni sono:
3.1.3.2.1 = 18
Passaggio 3: rapporto di probabilità.
Il rapporto di probabilità è:
Con p = 18 e q = 96.
Tuttavia, esiste ancora la condizione che il massimo comun divisore tra p e q sia 1, cosa che non si verifica con 18 e 96.
Dobbiamo semplificare e testare le frazioni equivalenti a 18/96.
Passaggio 4: semplificazione della frazione di probabilità e determinazione di p e q.
Poiché mcd (3, 16) = 1, p = 3 e q = 16.
Passaggio 5: conclusione.
q - p = 16 - 3 = 13
Impara di più riguardo permutazione.
Per altri esercizi vedere:
Esercizi di analisi combinatoria
ASTH, Raffaello. Esercizi di permutazione risolti e spiegati.Tutta la materia, [nd]. Disponibile in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Accesso a:
Vedi anche
- Analisi combinatoria
- Esercizi di analisi combinatoria
- Permutazione: semplice e con ripetizione
- Disposizione in matematica: cos'è, come calcolare, esempi
- 27 Esercizi di matematica di base
- Combinazione in matematica: come calcolare ed esempi
- Esercizi di probabilità
- Probabilità