Le operazioni con numeri complessi in forma trigonometrica facilitano il calcolo che coinvolge gli elementi di questo insieme. La moltiplicazione e la divisione dei complessi che sono in forma trigonometrica vengono eseguite quasi istantaneamente, mentre in forma algebrica il processo richiede più calcoli. Il potenziamento e la radicazione dei complessi in forma trigonometrica sono facilitati anche dall'uso delle formule di Moivre. Vediamo come viene effettuato il radicamento di questi numeri:
Considera un qualsiasi numero complesso z = a + bi. La forma trigonometrica di z è:
Le radici di n-indice di z sono date dalla seconda formula di Moivre:
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Esempio 1. Trova le radici quadrate di 2i.
Soluzione: Per prima cosa dobbiamo scrivere il numero complesso in forma trigonometrica.
Tutto il numero complesso è della forma z = a + bi. Quindi, dobbiamo:
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Sappiamo anche che:
Con i valori di seno e coseno possiamo concludere che:
Pertanto, la forma trigonometrica di z = 2i è:
Ora, calcoliamo le radici quadrate di z usando la formula di Moivre.
![](/f/f5bbcd1ec0020658f8e60fb09fc56132.jpg)
Poiché vogliamo le radici quadrate di z, otterremo due radici distinte z0 e z1.
Per k = 0, avremo
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Per k = 1 avremo:
![](/f/944f6db489d2378bf88485498980bbb9.jpg)
O
![](/f/877681610b9ca6569b1b6bb3b8f83bed.jpg)
Esempio 2. Ottieni le radici cubiche di z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Soluzione: poiché il numero complesso è già in forma trigonometrica, usa semplicemente la formula di Moivre. Dall'enunciato si ha che ø = π e |z| = 1. Così,
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Avremo tre radici distinte, z0, z1 e z2.
Per k = 0
![](/f/6fd9edb1cc2aa7929621fb1cf3f0df2e.jpg)
Per k = 1
![](/f/c7d054037578422dcf1a5ff940c294c7.jpg)
o z1 = – 1, poiché cos π = – 1 e sin π = 0.
Per k = 2
![](/f/563d7afdeec2e1eb0fd91b2be66701eb.jpg)
di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Numeri complessi - Matematica - Scuola Brasile
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm