Le operazioni con numeri complessi in forma trigonometrica facilitano il calcolo che coinvolge gli elementi di questo insieme. La moltiplicazione e la divisione dei complessi che sono in forma trigonometrica vengono eseguite quasi istantaneamente, mentre in forma algebrica il processo richiede più calcoli. Il potenziamento e la radicazione dei complessi in forma trigonometrica sono facilitati anche dall'uso delle formule di Moivre. Vediamo come viene effettuato il radicamento di questi numeri:
Considera un qualsiasi numero complesso z = a + bi. La forma trigonometrica di z è:
Le radici di n-indice di z sono date dalla seconda formula di Moivre:
Esempio 1. Trova le radici quadrate di 2i.
Soluzione: Per prima cosa dobbiamo scrivere il numero complesso in forma trigonometrica.
Tutto il numero complesso è della forma z = a + bi. Quindi, dobbiamo:
Sappiamo anche che:
Con i valori di seno e coseno possiamo concludere che:
Pertanto, la forma trigonometrica di z = 2i è:
Ora, calcoliamo le radici quadrate di z usando la formula di Moivre.
Poiché vogliamo le radici quadrate di z, otterremo due radici distinte z0 e z1.
Per k = 0, avremo
Per k = 1 avremo:
O
Esempio 2. Ottieni le radici cubiche di z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Soluzione: poiché il numero complesso è già in forma trigonometrica, usa semplicemente la formula di Moivre. Dall'enunciato si ha che ø = π e |z| = 1. Così,
Avremo tre radici distinte, z0, z1 e z2.
Per k = 0
Per k = 1
o z1 = – 1, poiché cos π = – 1 e sin π = 0.
Per k = 2
di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Numeri complessi - Matematica - Scuola Brasile
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm
