I calcoli relativi alle aree delle figure piane regolari sono in qualche modo eseguiti facilmente grazie alle formule matematiche esistenti. Nel caso di figure come triangolo, quadrato, rettangolo, trapezi, rombi, parallelogrammi, tra gli altri, è sufficiente collegare le formule alla figura ed eseguire i calcoli necessari. Alcune situazioni richiedono strumenti ausiliari per ottenere aree, come le regioni sotto una curva. Per tali situazioni utilizziamo calcoli che coinvolgono le nozioni di integrazione sviluppate da Isaac Newton e Leibniz.
Possiamo rappresentare algebricamente una curva nel piano attraverso una legge di formazione chiamata funzione. L'integrale di una funzione è stato creato per determinare le aree sotto una curva nel piano cartesiano. I calcoli che coinvolgono gli integrali hanno diverse applicazioni in matematica e fisica. Notare la seguente illustrazione:
Per calcolare l'area della regione delimitata (S) utilizziamo la funzione integrata f sulla variabile x, compresa tra l'intervallo a e b:
L'idea principale di questa espressione è dividere l'area delimitata in rettangoli infiniti, perché intuitivamente l'integrale di f (x) corrisponde alla somma dei rettangoli di altezza f (x) e base dx, dove il prodotto di f (x) per dx corrisponde all'area di ciascuno rettangolo. La somma delle aree infinitesimali darà la superficie totale sotto la curva.
Risolvendo l'integrale tra i limiti aeb, avremo come risultato la seguente espressione:
Esempio
Determina l'area della regione sottostante delimitata dalla parabola definita dall'espressione f (x) = – x² + 4, nell'intervallo [-2,2].
Determinazione dell'area attraverso l'integrazione delle funzioni f (x) = –x² + 4.
Per questo dobbiamo ricordare la seguente tecnica di integrazione:
Pertanto, l'area della regione delimitata dalla funzione f (x) = –x² + 4, compreso tra -2 e 2, è 10,6 unità di area.
di Mark Noah
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Ruoli - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-sob-uma-curva.htm