Una progressione geometrica è una sequenza numerica che rispetta una legge di formazione. In un PG, ogni termine, a partire dal secondo, si ottiene facendo il prodotto tra il termine precedente e una costante q. Questa costante q è chiamata rapporto di progressione geometrica. Interpola le medie geometriche tra due numeri qualsiasi a1 e ilno significa determinare i numeri reali esistenti tra i1 e ilno in modo che la sequenza numerica sia un PG.
Per eseguire l'interpolazione delle medie geometriche è necessario utilizzare la formula generale del termine di PG:
Per interpolare le medie geometriche è necessario conoscere anche il valore del rapporto PG.
Esempio 1. Un PG è formato da 6 termini, dove il1 = 4 e il6 = 972. Determinare i mezzi geometrici esistenti tra i1 e il6.
Soluzione: Per interpolare le medie geometriche tra 4 e 972 occorre determinare il valore del rapporto PG. Per questo, useremo la formula del termine generale.
Sappiamo che il rapporto di PG è 3 e che ogni termine, a partire dal secondo, si ottiene facendo il prodotto tra il termine precedente e il rapporto. Avremo quindi:
Esempio 2. Determinare i termini mancanti nella sequenza numerica (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) in modo da avere una progressione geometrica.
Soluzione: notare che trovare i termini mancanti nella sequenza con gli estremi 3 e 1536 significa interpolare le medie geometriche. Quindi, dobbiamo determinare il valore del rapporto di questo PG.
Dalla sequenza numerica data, sappiamo che il1 = 3 e il10 = 1536 (dal 1536 occupa la decima posizione nella sequenza). Usando la formula del termine generale, avremo:
Conosciuto il valore del rapporto, possiamo determinare i termini che mancano nella sequenza:
Esempio 3. Un'industria ha prodotto 100 unità di un prodotto a gennaio. Nel luglio dello stesso anno, ha prodotto 6400 unità di questo prodotto. Determina quante unità sono state prodotte nei mesi da febbraio a giugno, sapendo che le quantità prodotte da gennaio a luglio determinano un PG.
Soluzione: secondo la dichiarazione del problema, la sequenza (100, _, _, _, _, _, 6400) è un PG. Per risolvere il problema dobbiamo determinare i termini mancanti in questo PG o interpolare medie geometriche tra 100 e 6400. Quindi dobbiamo determinare il motivo di questo PG, dove il1 = 100 e il7 = 6400.
Conoscendo il valore della ragione, dobbiamo:
Pertanto, la produzione nel mese di febbraio è stata di 200 unità; Marzo era di 400 unità; Aprile era di 800 unità; Maggio era di 1600 unità; e giugno era di 3200 unità.
di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Progressioni - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/interpolacao-meios-geometricos.htm