Esercizi su PA e PG

Studia la progressione aritmetica e geometrica con esercizi risolti e commentati passo dopo passo.

Esercizio 1

In un AP, a2 = 5 e a7 = 15. Trova a4 e aggiungi i primi cinque termini di questo AP.

vedi risposta

Risposta corretta: a4 = 9 e S = 35.

Risoluzione

1° passo: determinare il motivo e a4.
Per uscire da a2 e arrivare ad a7, aggiungiamo 5r, in quanto è la "distanza" tra 7 e 2.

a con 7 pedice uguale a con 2 pedice più 5 r 15 spazio uguale a spazio 5 spazio più spazio 5 r 15 spazio meno spazio 5 spazio uguale a 5 r 10 spazio uguale a spazio 5 r 10 oltre 5 uguale a r 2 uguale R

Il termine a4 è il termine a2 più 2r, perché per passare da a2 ad a4, "avanziamo" 2r. Presto,

a con 4 pedice è uguale a a con 2 pedice più 2 r a con 4 pedice è uguale a 5 spazio più spazio 2.2 a con 4 pedice è uguale a 5 spazio più spazio 4 spazio è uguale a spazio 9

Pertanto, il quarto mandato di AP è 9.

2° passo: determinare la somma dei primi cinque termini di questo AP.

La somma dei termini di un AP è data da:

S è uguale al numeratore parentesi a sinistra con 1 pedice più a con n pedice parentesi a destra. n su denominatore 2 fine della frazione

a1 = a2 - r (perché torniamo indietro di una posizione in PA, partendo da a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (perché torniamo indietro di due posizioni in PA, partendo da a7).
a5 = 15 - 2.2 = 15 - 4 = 11

S è uguale al numeratore parentesi sinistra 3 spazio più spazio 11 parentesi destra.5 sopra denominatore 2 fine frazione è uguale al numeratore 14 spazio. spazio 5 sul denominatore 2 fine della frazione uguale a 70 su 2 uguale a 35

Esercizio 2

(Aeronautica 2021) Un professore ha scritto una progressione aritmetica crescente di 8 termini partendo dal numero 3 e composta solo da numeri naturali. Notò poi che il secondo, il quarto e l'ottavo termine di questa progressione aritmetica formavano, in quest'ordine, una progressione geometrica. Il professore osservò anche che la somma dei termini di questa progressione geometrica era uguale a

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a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

vedi risposta

Risposta: a) 42

Per AP, i termini che formano un PG sono a2, a4 e a8:

a con 2 pedice è uguale a con 1 pedice più parentesi sinistra n meno 1 parentesi destra r a con 2 pedice uguale a 3 più parentesi a sinistra 2 meno 1 parentesi a destra r a con 2 pedice uguale a 3 più r spazio

a con 4 pedice è uguale a con 1 pedice più parentesi sinistra 4 meno 1 parentesi destra r a con 4 pedice è uguale a 3 spazio più spazio 3 r

a con 8 pedice è uguale a 3 più parentesi a sinistra 8 meno 1 parentesi a destra r a con 8 pedice è uguale a 3 più 7 r

La somma dei tre termini è:

S è uguale a a con 2 pedice più a con 4 pedice più a con 8 pedice S è uguale a parentesi sinistra 3 più r parentesi destra spazio più spazio parentesi sinistra 3 più 3 r parentesi spazio a destra più spazio parentesi a sinistra 3 più 7 r parentesi a destra S è uguale a 9 spazio più spazio 11 r spazio spazio spazio parentesi a sinistra e q u a zione spazio parentesi I Giusto

Per determinare r utilizziamo la media geometrica:

a con 4 pedice è uguale alla radice quadrata di a con 2 pedice. a con 8 pedice estremità della radice 3 più 3 r è uguale alla radice quadrata della parentesi sinistra 3 più r parentesi destra. parentesi sinistra 3 più 7 r radice della parentesi destra end

Squadratura su entrambi i lati

parentesi sinistra 3 più 3 r parentesi destra al quadrato è uguale alla parentesi sinistra 3 più r parentesi destra. parentesi sinistra 3 più 7 r parentesi destra

Al quadrato del primo termine e distribuzione del secondo termine:

parentesi sinistra 3 più 3 r parentesi destra al quadrato è uguale alla parentesi sinistra 3 più r parentesi destra. parentesi a sinistra 3 più 7 r parentesi a destra 9 spazio più spazio 18 r spazio più spazio 9 r al quadrato è uguale a 9 spazio più spazio 21 r spazio più spazio 3 r spazio più spazio 7 r al quadrato 9 r al quadrato meno 7 r al quadrato è uguale a 24 r spazio meno spazio 18 r spazio più spazio 9 spazio meno spazio 9 2 r al quadrato è uguale a 6 r r al quadrato è uguale a 3 r un. r spazio è uguale a spazio 3 r r spazio è uguale a numeratore 3 r sopra denominatore r fine della frazione è uguale a 3

Sostituendo r nell'equazione I, abbiamo:

S spazio è uguale a spazio 9 spazio più spazio 11 r S spazio è uguale a spazio 9 spazio più spazio 11.3 S spazio è uguale a spazio 9 spazio più spazio 33 S spazio è uguale a spazio 42

Pertanto, la somma dei primi tre termini è pari a 42.

Esercizio 3

(PM-SP 2019) Nel 2015 una grande compagnia petrolifera ha avviato il processo di riutilizzo dell'acqua utilizzata per raffreddare le parti che prodotto e fatto una proiezione di un graduale aumento, in progressione aritmetica, fino all'anno 2050, del volume d'acqua che sarà riutilizzato, anno per anno anno.

La tabella riporta i volumi di acqua riutilizzata nei primi 3 anni:

Tabella associata alla risoluzione del quesito.

Sia An il termine generale della progressione aritmetica che indica il volume di acqua riutilizzata, in milioni di m³, con n = 1, che rappresenta il volume di acqua riutilizzata nell'anno 2016, n = 2, che rappresenta il volume di acqua riutilizzata nell'anno 2017, e così via successivamente.

In queste condizioni, uno deve

a) An = 0,5 n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5 n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5 n.
e) An = 0,5n - 23.

vedi risposta

Risposta corretta: c) An = 0,5n + 23.

obbiettivo
Determina An in funzione di n.

Risoluzione
Il rapporto della progressione aritmetica è 0,5, perché 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Il termine generale di un AP è dato da:

A con n pedice è uguale a spazio a con 1 pedice spazio più spazio parentesi sinistra n meno 1 parentesi destra r

Sostituendo i valori:

A con n pedice è uguale a 23 virgola 5 spazio più spazio 0 virgola 5 n spazio meno spazio 0 virgola 5 A con n pedice è uguale a 0 virgola 5 n più 23 spazio

Esercizio 4

(CEDERJ 2021) La sequenza (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) è una progressione aritmetica del rapporto 6. Il quarto termine di questa progressione è

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

vedi risposta

Risposta corretta: a) 31

Risoluzione
r spazio è uguale a spazio a con 2 pedice meno a con 1 pedice 6 spazio è uguale a spazio 3 x più 4 spazio meno parentesi sinistra 2x più 3 parentesi a destra 6 è uguale a 3x più 4 meno 2x meno 3 6 è uguale a x più 1x è uguale a 6 meno 1x è uguale 5

Il quarto termine è a3 + r, in questo modo:

a con 4 pedice uguale a con 3 pedice più r a con 4 pedice uguale 4 x spazio più spazio 5 spazio più spazio r

Sostituendo i valori trovati:

a con 4 pedice = 4,5 spazio più spazio 5 spazio più spazio 6 a con 4 pedice = 20 più spazio 5 spazio più spazio 6 a con 4 pedice = 31

Esercizio 5

(Enem 2021) In Brasile, il tempo necessario a uno studente per completare la sua formazione fino alla laurea in un corso superiore, considerando 9 anni di scuola elementare, 3 anni di scuola media superiore e 4 anni di laurea (tempo medio) è 16 Anni. Tuttavia, la realtà dei brasiliani mostra che il tempo medio di studio delle persone di età superiore ai 14 anni è ancora molto ridotto, come mostrato nella tabella.
Tabella associata alla risoluzione del quesito.

Si consideri che l'aumento del tempo di studio, in ogni periodo, per queste persone, rimane costante fino all'anno 2050, e che si intende raggiungere il livello del 70% del tempo necessario per conseguire il corso superiore impartito in precedenza.
Sarà l'anno in cui il tempo medio di studio delle persone di età superiore ai 14 anni raggiunge la percentuale desiderata

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

vedi risposta

Risposta corretta: d) 2035.

1a parte: determinare il 70% di 16.

70 percento spazio dei segni 16 spazio è uguale a spazio 70 più di 100 segno di moltiplicazione 16 uguale a 1120 più di 100 uguale a 11 punto 2

2a parte: determinare dopo quanti periodi saranno raggiunti 11,2 anni di studio.

La sequenza temporale di studio è una progressione aritmetica (AP) con un rapporto di 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

L'importo di 11,2 anni sarà raggiunto in:

A con n pedice è uguale a a con 1 pedice più spazio parentesi sinistra n meno 1 parentesi destra r 11 virgola 2 è uguale a 5 virgola 2 più parentesi sinistra n meno 1 parentesi a destra 0 virgola 6 11 virgola 2 è uguale a 5 virgola 2 più 0 virgola 6 n meno 0 virgola 6 11 virgola 2 meno 5 virgola 2 più 0 virgola 6 è uguale a 0 virgola 6 n 6 più 0 virgola 6 è uguale a 0 virgola 6 n 6 virgola 6 è uguale a 0 virgola 6 n numeratore 6 virgola 6 sopra denominatore 0 virgola 6 fine della frazione è uguale a n 11 pari a n

L'importo di 11,2 sarà raggiunto nell'11° periodo della PA.

3a parte: determinare quale sia l'11° mandato della PA degli anni.

Il rapporto è a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 anni

A con 11 pedici è uguale a a con 1 pedice più parentesi a sinistra n meno 1 parentesi a destra r A con 11 pedici è uguale a 1995 più parentesi a sinistra 11 meno 1 parentesi a destra 4 A con 11 pedice è uguale a 1995 più 10,4 A con 11 pedice è uguale a 1995 spazio più spazio 40 A con 11 pedice è uguale 2035

Conclusione
Il 70% dei 16 anni necessari per completare un corso di laurea sarà raggiunto nel 2035.

Esercizio 6

(Vigili del fuoco 2021) Un aereo e un camion dei pompieri hanno serbatoi d'acqua con capacità rispettivamente di 12.000 e 8.000 litri d'acqua. Il camion ha una pompa da 2,5 GPM, il che significa che è in grado di pompare 2,5 galloni al minuto.

Da questa ipotetica situazione, giudicare il seguente item, considerando che 1 gallone equivale a 3,8 litri di acqua.

Se un serbatoio dell'acqua ha una capacità di Xmila litri, in modo che 8, X e 12 siano in progressione geometrica, in quest'ordine, la capacità di quel serbatoio è inferiore a 10mila litri.

Destra

Sbagliato

vedi risposta

Risposta corretta: giusto

obbiettivo
Controlla se X < 10.

Risoluzione
In una progressione geometrica, PG, il termine medio è la media geometrica tra gli estremi.

X minore della radice quadrata di 8.12 fine della radice X spazio minore della radice quadrata di 96

In effetti, la radice quadrata approssimativa di 96 è 9,79. Concludiamo che la capacità X del serbatoio è inferiore a 10 mila litri.

Esercizio 7

(Aeronautica 2021) Sii il P.G. (24, 36, 54, ...). Aggiungendo il 5° e 6° termine di questo G.P. c'è stato

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

vedi risposta

Risposta corretta: c) 1215/4

obbiettivo
Aggiungi a5 + a6

Risoluzione

Passaggio 1: determinare il rapporto q.

Il motivo di PG è:

q è uguale a a con 2 pedice su a con 1 pedice è uguale a 36 su 24 è uguale a 3 su 2

Passaggio 2: determinare a5

a4 = a3. Q
a5 = a4. Q

Sostituendo a4 in a5:

a con 5 pedici spazio è uguale a a con 3 pedici spazio. spazio q spazio. spazio q spazio è uguale a spazio a con 3 pedici spazi. spazio q al quadrato

Passaggio 3: determinare a6

a6 = a5. Q

Sostituendo a5 in a6:

a con 6 pedici equivale a a con 5 pedici spazi. spazio q spazio è uguale a spazio a con 3 pedici spazi. spazio q spazio quadrato. spazio q spazio è uguale a spazio a con 3 pedici spazi. spazio q al cubo

Passaggio 4: aggiungi a5 + a6 sostituendo i valori numerici.

a con 5 pedice più a con 6 pedice è uguale a con 3 pedice. q spazio quadrato più spazio a con pedice 3. q al cubo a con 5 pedice più a con 6 pedice è uguale a 54 spazio. lo spazio apre la parentesi 3 su 2 chiude la parentesi al quadrato più lo spazio 54 lo spazio. spazio apre parentesi 3 su 2 chiude parentesi al cubo a con 5 pedice più a con 6 pedice è uguale a 54 spazio. spazio 9 su 4 spazio più spazio 54 spazio. spazio 27 su 8

Mettendo in evidenza 54:

a con 5 pedice più a con 6 pedice è uguale a 54 spazio apre parentesi 9 su 4 spazio più spazio 27 oltre 8 chiude le parentesi a con 5 pedice più a con 6 pedice uguale a 54 apre parentesi numeratore 9 spazio. spazio 8 su denominatore 4 spazio. spazio 8 fine della frazione più spazio numeratore 27 spazio. spazio 4 su denominatore 4 spazio. spazio 8 fine della frazione chiude parentesi a con 5 pedice più a con 6 pedice uguale a 54 apre parentesi 72 su 32 più 108 su 32 chiude parentesi a con 5 pedice più a con 6 pedice è uguale a 54 apre parentesi 180 su 32 chiude parentesi a con 5 pedice più a con 6 pedice è uguale a 54 spazio. spazio 180 maggiore di 32 uguale a 9720 maggiore di 32 uguale a 1215 maggiore di 4

Esercizio 8

(UERJ 2019) I triangoli A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, illustrati di seguito, hanno rispettivamente i perimetri p1, p2, p3. I vertici di questi triangoli, a partire dal secondo, sono i punti medi dei lati del triangolo precedente.

Immagine associata alla risoluzione del problema.

ammettilo pila A con 1 pedice B con 1 pedice con barra sopra pila B con 1 pedice C con 1 pedice con barra sopra uguale a 7 spazio e spazio pila A con 1 pedice C con 1 pedice con barra sopra uguale 4 .

Pertanto, (p1, p2, p3) definisce la seguente progressione:

a) rapporto aritmetico = – 8
b) rapporto aritmetico = – 6
c) rapporto geometrico = 1/2
d) rapporto geometrico = 1/4

vedi risposta

Risposta corretta: c) rapporto geometrico = 1/2

Risoluzione

Fase 1: definire i perimetri p1, p2 e p3.

p con 1 pedice uguale spazio pila A con 1 pedice B con 1 pedice con barra sopra più spazio pila B con 1 pedice C con 1 pedice con barra sopra più pila A con 1 pedice C con 1 pedice con barra sopra p con 1 pedice uguale a 7 spazio più spazio 7 spazio più spazio 4 p con 1 pedice uguale a 18

Per parallelismo, verifichiamo che i lati del triangolo interno sono la metà di quello immediatamente esterno.

Ad esempio, B2A2 = A1C2

Pertanto, p2 è metà di p1, così come p3 è metà di p2. Abbiamo:

p con 2 pedice uguale p con 1 pedice diviso per 2 uguale a 9 e p con 3 pedice uguale p con 2 pedice diviso per 2 uguale a 9 spazio diviso per 2 uguale a 4 virgola 5

Passaggio 2: assemblare la progressione e classificarla.

p con 1 pedice virgola spazio p con 2 pedice virgola spazio p con 3 pedice spazio uguale a spazio 18 virgola spazio 9 virgola spazio 4 virgola 5

Si scopre che per determinare p2, 18 viene moltiplicato per 1/2.

18 spazio segno di moltiplicazione spazio 1 metà è uguale a 9

Inoltre, 9 moltiplicato per 1/2 è 4,5.

9 spazio segno di moltiplicazione spazio 1 metà è uguale a 9 su 2 è uguale a 4 virgola 5

Conclusione
Verifichiamo che la progressione è geometrica, con rapporto 1/2.

Esercizio 9

(Enem 2021) Il grafico informa la produzione registrata da un'industria nei mesi di gennaio, marzo e aprile.

Per problemi logistici, la rilevazione della produzione per il mese di febbraio non è stata effettuata. Tuttavia, le informazioni per gli altri tre mesi suggeriscono che la produzione in questo quadrimestre è cresciuta in modo esponenziale, come mostra la curva tendenziale tracciata nel grafico.

Assumendo che la crescita in questo periodo sia stata esponenziale, si può dedurre che la produzione di questo settore nel mese di febbraio, in migliaia di unità, è stata

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

vedi risposta

Risposta corretta: c) 240.

Risoluzione

Il termine generale di un PG è un esponenziale a in funzione di n, dove a1 eq sono numeri costanti.