Rapporti trigonometrici: seno, coseno e tangente sono relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo. Utilizzando questi rapporti è possibile determinare valori sconosciuti di angoli e misure laterali.
Pratica la tua conoscenza con i problemi risolti.
domande sul seno
domanda 1
essendo l'angolo pari a 30° e l'ipotenusa 47 m, calcolare la misura dell'altezza Il del triangolo.
Il rapporto del seno trigonometrico è il quoziente tra le misure del lato opposto dell'angolo e l'ipotenusa.
isolare Il da un lato dell'uguaglianza, abbiamo:
Da una tavola trigonometrica, abbiamo che il seno di 30° è uguale a , sostituendo nell'equazione:
Pertanto, l'altezza del triangolo è 23,50 m.
Domanda 2
La vista dall'alto di un parco mostra due percorsi per arrivare al punto C dal punto A. Una delle opzioni è andare in B, dove ci sono fontanelle e luoghi di sosta, e poi in C. Se un visitatore del parco vuole andare direttamente in C, quanti metri avrà percorso in meno rispetto alla prima opzione?
Considera approssimazioni:
peccato 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
abbronzatura 58° = 1.60
Risposta: uscendo da A e andando dritti verso C, il cammino è più breve di 7,54 m.
Passaggio 1: calcola la distanza.
Passaggio 2: determinare la distanza.
Passaggio 3: determinare la distanza .
Passaggio 4: determinare la differenza tra i due percorsi.
Domanda 3
È stata installata una funivia che collega una base alla cima di una montagna. Per l'installazione sono stati utilizzati 1358 m di cavi, disposti con un angolo di 30° rispetto al suolo. Quanto è alta la montagna?
Risposta corretta: l'altezza della montagna è di 679 m.
Possiamo usare il rapporto trigonometrico seno per determinare l'altezza della montagna.
Da una tavola trigonometrica abbiamo sin 30° = 0,5. Poiché il seno è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, ne determiniamo l'altezza.
domanda 4
(CBM-SC, soldato-2010) Per aiutare una persona in un appartamento durante un incendio, i vigili del fuoco utilizzerà una scala di 30 m, che verrà posizionata come mostrato nella figura sottostante, formando un angolo con il terreno del 60°. Quanto dista l'appartamento dal pavimento? (Utilizzare sen60º=0,87; cos60º=0,5 e tg60º= 1,73)
a) 15 mt.
b) 26,1 milioni.
c) 34,48 mt.
d) 51,9 milioni.
Risposta corretta: b) 26,1 m.
Per determinare l'altezza, utilizzeremo il seno a 60°. Chiamando l'altezza h e usando il seno 60° pari a 0,87.
Domande sul coseno
domanda 5
Il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente ad un angolo e la misura dell'ipotenusa. Essendo pari a 45°, calcola la misura della gamba adiacente all'angolo alfa, nel triangolo della figura.
tener conto di
Approssimando il valore della radice quadrata di 2:
La misura del tratto adiacente è di circa 19,74 m.
domanda 6
Durante una partita di calcio, il giocatore 1 lancia al giocatore 2 con un angolo di 48°. Quanto lontano deve percorrere la palla per raggiungere il giocatore 2?
Tener conto di:
peccato 48° = 0.74
cos 48° = 0.66
abbronzatura 48° = 1.11
Risposta corretta: la palla deve percorrere una distanza di 54,54 m.
La misura tra giocatore 1 e giocatore 2 è l'ipotenusa del triangolo rettangolo.
Il coseno dell'angolo di 48° è il rapporto tra il suo lato adiacente e l'ipotenusa, dove il lato adiacente è la distanza tra il centrocampo e l'area grande.
52,5 - 16,5 = 36 m
Calcolo del coseno, dove h è l'ipotenusa.
domanda 7
Un tetto è considerato a due falde quando ci sono due pendenze. In un'opera si sta costruendo un tetto dove l'incontro delle sue due acque è esattamente al centro della soletta. L'angolo di inclinazione di ciascuna acqua rispetto alla lastra è di 30°. La lastra è lunga 24 m. Per ordinare le tegole ancor prima che sia completata la struttura che sosterrà il tetto, è necessario conoscere la lunghezza di ciascuna acqua, che sarà:
Poiché la lastra è lunga 24 m, ogni acqua sarà di 12 m.
Chiamando la lunghezza di ogni acqua di tetto L, abbiamo:
Razionalizzare la frazione per ottenere il numero irrazionale del denominatore.
Fabbricazione,
Pertanto, la lunghezza di ogni tetto d'acqua sarà di circa 13,6 m.
domanda 8
La tangente è il rapporto tra il lato opposto a un angolo e il suo lato adiacente. essendo l'angolo uguale a 60°, calcola l'altezza del triangolo.
Domande tangenti
domanda 9
Una persona vuole conoscere la larghezza di un fiume prima di attraversarlo. Per questo, imposta un punto di riferimento sull'altro bordo, come ad esempio un albero (punto C). Nella posizione in cui ti trovi (punto B), percorri 10 metri verso sinistra, fino a formare un angolo di 30° tra il punto A e il punto C. Calcola la larghezza del fiume.
tener conto di .
Per calcolare la larghezza del fiume che chiameremo L utilizzeremo la tangente dell'angolo .
domanda 10
(Enem 2020) Pergolado è il nome dato a un tipo di tetto progettato da architetti, comunemente in piazze e
giardini, per creare un ambiente per persone o piante, in cui vi sia una diminuzione della quantità di luce,
a seconda della posizione del sole. È realizzato come un pallet di travi uguali, disposte parallele e perfettamente
in fila, come mostrato in figura.
Un architetto progetta un pergolato con luci di 30 cm tra le sue travi, in modo che, nel
solstizio d'estate, la traiettoria del sole durante il giorno si compie su un piano perpendicolare alla direzione di
raggi, e che il sole pomeridiano, quando i suoi raggi fanno 30° con la posizione dello spillo, generano la metà
della luce che passa nel pergolato a mezzogiorno.
Per soddisfare la proposta progettuale preparata dall'architetto, le travi della pergola devono essere
costruito in modo che l'altezza, in centimetri, sia il più vicino possibile a
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Risposta corretta: c) 26.
Per capire la situazione, facciamo uno schema.
L'immagine a sinistra mostra l'incidenza della luce solare a mezzogiorno, con il 100%. L'immagine a sinistra è ciò che ci interessa. Permette solo il 50% dei raggi solari di passare attraverso la pergola con una pendenza del 30%.
Usiamo il rapporto trigonometrico tangente. La tangente di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente.
Chiamando l'altezza del pezzo di pergola h, si ha:
Fare una tangente di 30° =
Razionalizziamo l'ultima frazione in modo da non lasciare al denominatore la radice di tre, un numero irrazionale.
Fabbricazione,
Tra le opzioni disponibili per la domanda, la più vicina è la lettera c, l'altezza delle travi deve essere di circa 26 cm.
domanda 11
(Enem 2010) Un pallone atmosferico, lanciato a Bauru (343 chilometri a nord-ovest di San Paolo), di notte domenica scorsa è caduto questo lunedì a Cuiabá Paulista, nella regione del Presidente Prudente, spaventare
agricoltori della regione. Il manufatto fa parte del programma Hibiscus Project, sviluppato da Brasile, Francia,
Argentina, Inghilterra e Italia, per misurare il comportamento dello strato di ozono, e avvenne la sua discesa
dopo il rispetto del tempo di misurazione previsto.
Nella data dell'evento, due persone hanno visto il pallone. Uno era a 1,8 km dalla posizione verticale del pallone
e lo vide con un angolo di 60°; l'altro era a 5,5 km dalla posizione verticale del pallone, allineato con il
prima, e nella stessa direzione, come si vede nella figura, e la vedeva con un angolo di 30°.
Qual è l'altezza approssimativa del pallone?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Risposta corretta: c) 3,1 km
Usiamo la tangente a 60° che è uguale . La tangente è il rapporto trigonometrico tra il lato opposto dell'angolo e quello adiacente.
Pertanto, l'altezza del pallone era di circa 3,1 km.
