La trasposta di una matrice A è una matrice che ha gli stessi elementi di A, ma posizionata in una posizione diversa. Si ottiene trasportando ordinatamente gli elementi dalle righe di A alle colonne della trasposta.
Pertanto, data una matrice A = (aij)mxn la trasposta di A è At = (a'ji) n x m.
Essere,
io: posizione della linea
j: posizione della colonna
Ilij: un elemento dell'array in posizione ij
m: numero di righe della matrice
n: numero di colonne nella matrice
ILt: matrice trasposta di A
Si noti che la matrice A è di ordine m x n, mentre la sua trasposta At è di ordine n x m.
Esempio
Trova la matrice trasposta dalla matrice B.
Poiché la matrice data è del tipo 3x2 (3 righe e 2 colonne) la sua trasposizione sarà del tipo 2x3 (2 righe e 3 colonne).
Per costruire la matrice trasposta, dobbiamo scrivere tutte le colonne di B come righe di Bt. Come indicato nello schema sottostante:
Quindi, la matrice trasposta di B sarà:
Vedi anche: matrici
Proprietà della matrice trasposta
- (ILt)t = A: questa proprietà indica che la trasposta di una matrice trasposta è la matrice originale.
- (A + B)t = At + Bt: la trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma della trasposta di ciascuna di esse.
- (IL. B)t = Bt. ILt: la trasposta della moltiplicazione di due matrici è uguale al prodotto delle trasposte di ciascuna di esse, in ordine inverso.
- det (M) = det (Mt): il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice originale.
Matrice simmetrica
Una matrice si dice simmetrica quando, per ogni elemento della matrice A, l'uguaglianza aij = ilji è vero.
Le matrici di questo tipo sono matrici quadrate, ovvero il numero di righe è uguale al numero di colonne.
Ogni matrice simmetrica soddisfa la seguente relazione:
A = At
Matrice Opposta
È importante non confondere la matrice opposta con quella trasposta. La matrice opposta è quella che contiene gli stessi elementi nelle righe e nelle colonne, però con segni diversi. Quindi, l'opposto di B è –B.
matrice inversa
IL matrice inversa (indicato dal numero –1) è quello in cui il prodotto di due matrici è uguale a una matrice identità quadrata (I) dello stesso ordine.
Esempio:
IL. B = B. A = iono (quando la matrice B è inversa della matrice A)
Esercizi per l'esame di ammissione con feedback
1. (Fei-SP) Data la Matrice A = 
, essere ilt la sua trasposta, il determinante della matrice A. ILt é:
a 1
b) 7
c) 14
d) 49
Alternativa d: 49
2. (FGV-SP) A e B sono matrici e At è la matrice trasposta di A. Se 
, quindi la matrice At. B sarà nullo per:
a) x + y = –3
b) x. y = 2
c) x/y = –4
d) x. sì2 = –1
e) x/y = –8
Alternativa d: x. sì2 = –1
3. (UFSM-RS) Sapendo che la matrice
è uguale a trasposto, il valore di 2x + y è:
a) –23
b) -11
c) -1
d) 11
e) 23
Alternativa c: -1
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