Teorema di D'Alembert

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oh Il teorema di D'Alembert è fa sapere se a polinomioP(x) è divisibile per un binomio di tipo ax + b, prima ancora di eseguire la divisione tra di essi.

In altre parole, il teorema ci permette di sapere se il resto R della divisione è uguale a zero oppure no. Questo teorema è una conseguenza immediata della resto teorema per la divisione di polinomi. Comprendi perché di seguito.

resto teorema

Quando si divide un polinomio P(x) per un binomio di tipo ax + b, il resto R è uguale al valore di P(x) quando x è la radice del binomio ax + b.

Radice del binomio: ax + b = 0 ⇒ x = -b/a. Quindi, per il teorema del resto, dobbiamo:

R = P(-b/a)

Ora, vedi che se P(-b/a) = 0, allora R = 0 e se R = 0, abbiamo divisibilità tra i polinomi. Ed è esattamente quello che ci dice il teorema di D'Alembert.

Teorema di D'Alembert: se P(-b/a) = 0, allora il polinomio P(x) è divisibile per il binomio ax + b.

Esempio 1

Verifica che il polinomio P(x) = 6x² + 2x sia divisibile per 3x + 1.

1°) Determiniamo la radice di 3x + 1:

-b/a = -1/3

2) Sostituiamo x con -1/3 nel polinomio P(x) = 6x² + 2x:

P(-1/3) = 6.(-1/3)² + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6.(1/9) + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6/9 - 2/3
P(-1/3) = 2/3 - 2/3
P(-1/3) = 0

Poiché P(-1/3) = 0, il polinomio P(x) = 6x² + 2x è divisibile per 3x + 1.

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Esempio 2

Verifica che il polinomio P(x) = 12x³ + 4x² – 8x sia divisibile per 4x.

1°) Determiniamo la radice di 4x:

-b/a = -0/4 = 0

2°) Sostituiamo x con 0 nel polinomio P(x) = 12x³ + 4x² – 8x:

P(0) = 12.0³ + 4.0² - 8.0
P(0) = 0 + 0 - 0
P(0) = 0

Poiché P(0) = 0, il polinomio P(x) = 12x³ + 4x² – 8x è divisibile per 4x.

Esempio 3

Verifica che il polinomio P(x) = x² – 2x + 1 sia divisibile per x – 2.

1°) Determiniamo la radice di x – 2:

-b/a = -(-2)/1 = 2

2°) Sostituiamo x con 2 nel polinomio P(x) = x² - 2x + 1:

P(2) = 2² - 2,2 + 1
P(2) = 4 - 4 +1
P(2) = 1

Poiché P(2) ≠ 0, il polinomio P(x) = x² – 2x + 1 non è divisibile per x – 2.

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