La trigonometria è un tema importante in matematica che permette di conoscere i lati e gli angoli in un triangolo rettangolo, attraverso il seno, il coseno e la tangente, oltre ad altre funzioni trigonometriche.
Per migliorare i tuoi studi e ampliare le tue conoscenze, segui l'elenco di 8 esercizi, più 4 domande di esame di ammissione, tutti risolti passo dopo passo.
Esercizio 1
Osservando al mattino l'ombra di un edificio sul terreno, una persona ha scoperto che misurava 63 metri quando i raggi del sole formavano un angolo di 30° con la superficie. Sulla base di queste informazioni, calcolare l'altezza dell'edificio.
Risposta corretta: circa 36,37 m.
L'edificio, l'ombra e il raggio di sole determinano un triangolo rettangolo. Utilizzando l'angolo di 30° e la tangente, possiamo determinare l'altezza dell'edificio.
Poiché l'altezza dell'edificio è h, abbiamo:
Esercizio 2
Su una circonferenza di diametro 3, un segmento AC, detto corda, forma un angolo di 90° con un'altra corda CB della stessa lunghezza. Qual è la misura delle corde?
Risposta corretta: la lunghezza della corda è di 2,12 cm.
Poiché i segmenti AC e CB formano un angolo di 90° e sono della stessa lunghezza, il triangolo formato è isoscele e gli angoli alla base sono uguali.
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180° e abbiamo già un angolo di 90°, ne restano altri 90° da dividere equamente tra i due angoli alla base. Pertanto, il valore di questi è pari a 45º ciascuno.
Poiché il diametro è pari a 3 cm, il raggio è 1,5 cm e possiamo usare il coseno di 45° per determinare la lunghezza della corda.
Esercizio 3
Un ciclista che partecipa a un campionato si avvicina al traguardo in cima a un pendio. La lunghezza totale di quest'ultima parte della prova è di 60 me l'angolo formato tra la rampa e l'orizzontale è di 30°. Sapendo questo, calcola l'altezza verticale che il ciclista deve salire.
Risposta corretta: L'altezza sarà di 30 m.
Chiamando l'altezza h, abbiamo:
Esercizio 4
La figura seguente è formata da tre triangoli dove l'altezza h determina due angoli retti. I valori degli elementi sono:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Trova il valore di a+b.
Risposta esatta:
Possiamo determinare le misure dei segmenti aeb usando le tangenti degli angoli dati.
Calcolo di un:
Calcolo di b:
Così,
Esercizio 5
Un aereo è decollato dalla città A e ha volato per 50 km in linea retta fino ad atterrare nella città B. Successivamente, ha volato per altri 40 km, questa volta in direzione della città D. Questi due percorsi sono a un angolo di 90° l'uno dall'altro. Tuttavia, a causa delle condizioni meteorologiche sfavorevoli, il pilota ricevette una comunicazione dalla torre di controllo che lo informava che non poteva atterrare in città D e che doveva tornare in città A.
Per effettuare l'inversione a U dal punto C, il pilota dovrebbe effettuare una virata di quanti gradi a destra?
Tenere conto:
peccato 51° = 0.77
cos 51° = 0.63
abbronzatura 51° = 1.25
Risposta corretta: il pilota deve effettuare una virata di 129° a destra.
Analizzando la figura, vediamo che il percorso forma un triangolo rettangolo.
Chiamiamo l'angolo che stiamo cercando W. Gli angoli W e Z sono supplementari, cioè formano un angolo superficiale di 180°.
Quindi, W + Z = 180°.
L = 180 - Z (equazione 1)
Il nostro compito ora è determinare l'angolo Z e, per questo, useremo la sua tangente.
Dobbiamo chiederci: qual è l'angolo la cui tangente è 1,25?
Il problema ci fornisce questo dato, tan 51° = 1,25.
Questo valore si può trovare anche in una tavola trigonometrica o con una calcolatrice scientifica, utilizzando la funzione:
Sostituendo il valore di Z nell'equazione 1, abbiamo:
L = 180° - 51° = 129°
Esercizio 6
Un raggio di luce monocromatica, passando da un mezzo all'altro, subisce una deviazione verso di esso. Questo cambiamento nella sua propagazione è correlato agli indici di rifrazione del mezzo, come mostrato nella seguente relazione:
Legge di Snell - Cartesio
Dove i e r sono gli angoli di incidenza e rifrazione e, n1 e n2, gli indici di rifrazione delle medie 1 e 2.
Quando colpisce la superficie di separazione tra aria e vetro, un raggio di luce cambia direzione, come mostrato in figura. Qual è l'indice di rifrazione del vetro?
Dati: Indice di rifrazione dell'aria pari a 1.
Risposta corretta: l'indice di rifrazione del vetro è uguale a .
Sostituendo i valori abbiamo:
Esercizio 7
Per trascinare un ceppo di legno nella sua officina, un fabbro legò una corda al ceppo e lo tirò per dieci piedi su una superficie orizzontale. Una forza di 40 N attraverso la corda formava un angolo di 45° con la direzione di marcia. Calcola il lavoro della forza applicata.
Risposta corretta: Il lavoro svolto è di circa 84,85 J.
Il lavoro è una quantità scalare ottenuta dal prodotto della forza per lo spostamento. Se la forza non ha la stessa direzione dello spostamento, dobbiamo scomporre questa forza e considerare solo la componente in questa direzione.
In questo caso, dobbiamo moltiplicare l'intensità della forza per il coseno dell'angolo.
Quindi abbiamo:
Esercizio 8
Tra due montagne, gli abitanti di due villaggi hanno dovuto percorrere faticosamente su e giù. Per risolvere la situazione, fu deciso che sarebbe stato costruito un ponte strallato tra i villaggi A e B.
Bisognerebbe calcolare la distanza tra i due villaggi per la retta su cui si stenderebbe il ponte. Poiché i residenti conoscevano già l'altezza delle città e gli angoli di salita, questa distanza poteva essere calcolata.
Sulla base del diagramma sottostante e sapendo che l'altezza delle città era di 100 m, calcola la lunghezza del ponte.
Risposta corretta: Il ponte dovrebbe avere una lunghezza di circa 157,73 m.
La lunghezza del ponte è la somma dei lati adiacenti agli angoli dati. Chiamando l'altezza h, abbiamo:
Calcolo con l'angolo di 45°
Calcolo con un angolo di 60°
Per determinare la lunghezza del ponte, sommiamo i valori ottenuti.
domanda 1
Cefet - SP
Nel triangolo ABC sottostante, CF = 20 cm e BC = 60 cm. Contrassegnare rispettivamente le misurazioni dei segmenti AF e BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Risposta: b) 10, 20
Per determinare AF
Notiamo che AC = AF + CF, quindi dobbiamo:
AF = AC - CF (equazione 1)
CF è data dal problema, essendo pari a 20 cm.
AC può essere determinato utilizzando un seno a 30°.
BC è fornito dal problema, essendo pari a 60 cm.
Sostituendo nell'equazione 1, abbiamo:
Per determinare BE
Prima osservazione:
Verifichiamo che la figura all'interno del triangolo è un rettangolo, a causa degli angoli retti determinati nella figura.
Pertanto, i loro lati sono paralleli.
Seconda osservazione:
Il segmento BE forma un triangolo rettangolo con un angolo di 30° dove: l'altezza è uguale ad AF, che abbiamo appena determinato, e BE è l'ipotenusa.
Facendo il calcolo:
Usiamo un seno a 30° per determinare BE
Domanda 2
EPCAR-MG
Un aereo decolla dal punto B con un'inclinazione costante di 15° rispetto all'orizzontale. A 2 km da B è la proiezione verticale C del punto più alto D di una catena montuosa alta 600 m, come mostrato in figura.
Dati: cos 15° = 0,97; peccato 15° = 0,26; tg 15° = 0.27
È corretto dire che:
a) L'aereo non entrerà in collisione con la sega prima di raggiungere i 540 m di altezza.
b) Ci sarà una collisione tra l'aereo e la sega ad un'altezza di 540 m.
c) L'aereo entrerà in collisione con la sega in D.
d) Se l'aereo decolla 220 m prima di B, mantenendo la stessa inclinazione, non ci sarà collisione dell'aereo con la sega.
Risposta: b) Ci sarà una collisione tra l'aereo e la sega ad un'altezza di 540 m.
Innanzitutto, è necessario utilizzare lo stesso multiplo dell'unità di misura della lunghezza. Pertanto, andremo da 2 km a 2000 m.
Seguendo le stesse condizioni di volo iniziali, possiamo prevedere l'altezza alla quale l'aereo si troverà nella proiezione verticale del punto C.
Usando la tangente 15° e definendo l'altezza come h, abbiamo:
Domanda 3
ENEM 2018
Per decorare un cilindro circolare diritto, verrà utilizzata una striscia rettangolare di carta trasparente, sulla quale è disegnata in grassetto una diagonale che forma 30° con il bordo inferiore. Il raggio della base del cilindro misura 6/π cm e, avvolgendo la striscia, si ottiene una linea a forma di elica, come mostrato in figura.
Il valore della misura dell'altezza del cilindro, in centimetri, è:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Risposta: b) 24√3
Osservando la figura notiamo che intorno al cilindro sono state fatte 6 spire. Essendo un cilindro diritto, in qualsiasi punto della sua altezza avremo come base un cerchio.
Calcolare la misura della base del triangolo.
La lunghezza di un cerchio si ottiene dalla formula:
Dove r è il raggio e, uguale a ,noi abbiamo:
Come sono 6 giri:
Possiamo usare l'abbronzatura a 30° per calcolare l'altezza.
domanda 4
ENEM 2017
I raggi del sole raggiungono la superficie di un lago formando un angolo X con la sua superficie, come mostrato nella figura.
In determinate condizioni si può assumere che l'intensità luminosa di questi raggi, sulla superficie del lago, sia data approssimativamente da I(x) = k. sin (x), essendo k una costante, e supponendo che X sia compreso tra 0° e 90°.
Quando x = 30º, l'intensità luminosa si riduce a quale percentuale del suo valore massimo?
R) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Risposta: B) 50%
Sostituendo il valore del seno 30° nella funzione, si ottiene:
Avendo ridotto della metà il valore di k, l'intensità è del 50%.
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