IL legge dei peccati determina che in ogni triangolo, la relazione seno di un angolo è sempre proporzionale alla misura del lato opposto a quell'angolo.
Questo teorema dimostra che nello stesso triangolo il rapporto tra il valore di un lato e il seno del suo angolo opposto sarà sempre costante.
Quindi, per un triangolo ABC di lati a, b, c, la Legge dei peccati ammette le seguenti relazioni:
Rappresentazione delle leggi dei peccati nel triangolo
Esempio
Per una migliore comprensione, calcoliamo la misura dei lati AB e BC di questo triangolo, in funzione della misura b del lato AC.
Per la legge dei seni possiamo stabilire la seguente relazione:
Quindi, AB = 0,816b e BC = 1,115b.
Nota: I valori dei seni sono stati consultati in tabella dei rapporti trigonometrici. In esso possiamo trovare i valori degli angoli da 1º a 90º di ciascuna funzione trigonometrica (seno, coseno e tangente).
Gli angoli di 30º, 45º e 60º sono i più utilizzati nei calcoli di trigonometria. Quindi, sono chiamati angoli notevoli. Controlla una tabella con i valori di seguito:
| Relazioni trigonometriche | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| coseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Applicazione della legge dei peccati
Usiamo la legge del seno nei triangoli acuti, dove gli angoli interni sono inferiori a 90º (acuti); o in triangoli ottusi, che hanno angoli interni maggiori di 90º (ottuso). In questi casi puoi anche usare il Legge del coseno.
L'obiettivo principale dell'uso della Legge dei peccati o dei coseni è scoprire le misure dei lati di un triangolo e anche i suoi angoli.
Rappresentazione dei triangoli secondo i loro angoli interni
E la legge dei peccati nel triangolo rettangolo?
Come accennato in precedenza, la Legge dei peccati viene utilizzata sia nei triangoli acuti che in quelli ottusi.
Nei triangoli rettangoli, formati da un angolo interno di 90º (retta), abbiamo utilizzato il Teorema di Pitagora e le relazioni tra i suoi lati: lato opposto, lato adiacente e ipotenusa.
Rappresentazione del triangolo rettangolo e dei suoi lati
Questo teorema ha la seguente affermazione: "la somma dei quadrati delle loro gambe corrisponde al quadrato della loro ipotenusa". La sua formula è espressa:
H2 = ca2 + co2
Quindi, quando abbiamo un triangolo rettangolo, il seno sarà il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell'ipotenusa:
Si legge di fronte sull'ipotenusa.
Il coseno corrisponde alla proporzione tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa, rappresentata dall'espressione:
Si legge adiacente all'ipotenusa.
Esercizi per l'esame di ammissione
1.(UFPB) Il municipio di una certa città costruirà, su un fiume che attraversa quella città, un ponte che deve essere rettilineo e collegare due punti, A e B, situati sulle sponde opposte del fiume. Per misurare la distanza tra questi punti, un geometra ha localizzato un terzo punto, C, a 200 m dal punto A e sulla stessa sponda del fiume del punto A. Utilizzando un teodolite (strumento di precisione per misurare angoli orizzontali e angoli verticali, spesso utilizzato nei lavori topografici), il geometra osservò che gli angoli misurati, rispettivamente, 30º e 105º, come illustrato nella figura seguente.
Sulla base di queste informazioni è corretto affermare che la distanza, in metri, dal punto A al punto B è:
obbiettivo: Determina la misura di AB.
Idea 1 - Legge dei peccati per determinare AB
La figura forma il triangolo ABC, dove il lato AC misura 200 me abbiamo due angoli determinati.
essendo l'angolo opposto al lato AC di 200 m e all'angolo C opposto al lato AB, possiamo determinare AB tramite il legge sui peccati.
IL legge sui peccati determina che i rapporti tra le misure dei lati e i seni degli angoli opposti, rispettivamente a questi lati, sono uguali nello stesso triangolo.
Idea 2: determina l'angolo
La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, quindi possiamo determinare l'angolo B.
B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°
Sostituendo il valore di nella legge dei seni e fare i calcoli.
Nota che c'è una radice quadrata in un denominatore. Prendiamo questa radice facendo la razionalizzazione, che è la moltiplicazione sia del denominatore che del numeratore della frazione per la radice stessa.
Sostituendo il valore AC, abbiamo:
Pertanto, la distanza tra i punti A e B è .
2. (Mackenzie – SP) Tre isole A, B e C appaiono su una mappa in scala 1:10000, come mostrato in figura. Tra le alternative, quella che meglio approssima la distanza tra le isole A e B è:
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km
Risposta corretta: e) 1,7 km
Scopo: Determinare la misura del segmento AB.
Idea 1: usa la legge del seno per trovare la misura di AB
Legge dei peccati: Le misure dei lati di un triangolo sono proporzionali ai seni dei loro angoli opposti.
Idea 2: determina l'angolo
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180º.
30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45
Idea 3: applica il valore di C nella legge dei seni
Idea 4: approssima il valore della radice quadrata e usa la scala
Fabbricazione
12. 1,4 = 16,8
La scala dice 1:10000, moltiplicando:
16,8. 10000 = 168 000 cm
Idea 5: passare da cm a km
168 000 cm / 100 000 = 1,68 km
Conclusione: poiché la distanza calcolata è 1,68 km, l'alternativa più vicina è la lettera e.
Nota: per passare da cm a km, dividiamo per 100 000 perché, nella scala seguente, da centimetri a km, contiamo 5 posizioni a sinistra.
km -5- hm -4- diga -3- m -2- dm -1- cm mm
3. (Unifor-CE) È noto che in ogni triangolo la misura di ciascun lato è direttamente proporzionale al seno dell'angolo opposto al lato. Utilizzando queste informazioni, si conclude che la misura del lato AB del triangolo mostrato di seguito è:
L'enunciato fornisce la legge dei seni.
Dalla trigonometria abbiamo che: sin 120 = sin 60.
Sostituendo i valori nella formula:
Per non lasciare una radice al denominatore, usiamo la razionalizzazione, moltiplicando il denominatore e il numeratore per la radice di 3.
Pertanto, la misura sul lato AB è .
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