La disequazione è una frase matematica che ha almeno un valore sconosciuto (sconosciuto) e rappresenta una disuguaglianza.
Nelle disuguaglianze usiamo i simboli:
- > maggiore di
- ≥ maggiore o uguale
- minore o uguale
Esempi
a) 3x - 5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20
Disuguaglianza di primo grado
Una disuguaglianza è di 1° grado quando il massimo esponente dell'incognita è uguale a 1. Possono assumere le seguenti forme:
- ax + b >0
- ascia + b
- ax + b ≥ 0
- ax + b 0
Essere Il e B numeri reali e Il ≠ 0
Risoluzione di una disuguaglianza di primo grado.
Per risolvere una tale disuguaglianza, possiamo farlo allo stesso modo delle equazioni.
Tuttavia, dobbiamo stare attenti quando l'ignoto diventa negativo.
In questo caso, dobbiamo moltiplicare per (-1) e invertire il simbolo di disuguaglianza.
Esempi
a) Risolvi la disuguaglianza 3x + 19
Per risolvere la disuguaglianza dobbiamo isolare la x, passando il 19 e il 3 dall'altra parte della disuguaglianza.
Ricordando che quando si cambia lato bisogna cambiare l'operazione. Quindi, il 19 che stava aggiungendo passerà diminuendo e il 3 che stava moltiplicando passerà dividendo.
3xxx
b) Come risolvere la disuguaglianza 15 - 7x ≥ 2x - 30?
Quando ci sono termini algebrici (x) su entrambi i lati della disuguaglianza, dobbiamo unirli dallo stesso lato.
In questo modo, i numeri che cambiano lato cambiano segno.
15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45
Ora moltiplichiamo l'intera disuguaglianza per (-1). Per fare ciò, cambiamo il segno di tutti i termini:
9x ≤ 45 (nota che invertiamo il simbolo ≥ in ≤)
x 45/9
x≤5≤
Pertanto, la soluzione a questa disuguaglianza è x≤5≤.
Risoluzione usando il grafico della disuguaglianza
Un altro modo per risolvere una disuguaglianza è rappresentarla graficamente sul piano cartesiano.
Nel grafico studiamo il segno della disuguaglianza individuando quali valori di X trasforma la disuguaglianza in una frase vera.
Per risolvere una disuguaglianza utilizzando questo metodo dobbiamo seguire i passaggi:
1°) Metti tutti i termini della disuguaglianza dalla stessa parte.
2º) Sostituisci il segno della disuguaglianza con quello dell'uguaglianza.
3°) Risolvi l'equazione, cioè trova la sua radice.
4°) Studiare il segno dell'equazione, individuando i valori di X che rappresentano la soluzione della disuguaglianza.
Esempio
Risolvi la disuguaglianza 3x + 19
Innanzitutto, scriviamo la disuguaglianza con tutti i termini su un lato della disuguaglianza:
3x + 19 - 40 3x - 21
Questa espressione indica che la soluzione della disuguaglianza sono i valori di x che rendono la disuguaglianza negativa (
Trova la radice dell'equazione 3x - 21 = 0
x = 21/3
x = 7 (radice dell'equazione)
Rappresenta nel piano cartesiano le coppie di punti trovati sostituendo i valori nel X nell'equazione. Il grafico di questo tipo di equazione è a dritto.
Abbiamo identificato che i valori
Disuguaglianza di secondo grado
Una disuguaglianza è di 2° grado quando il massimo esponente dell'incognita è uguale a 2. Possono assumere le seguenti forme:
- ascia2 + bx + c > 0
- ascia2 + bx + c
- ascia2 + bx + c ≥ 0
- ascia2 + bx + c 0
Essere Il, B e ç numeri reali e Il ≠ 0
Possiamo risolvere questo tipo di disuguaglianza utilizzando il grafico che rappresenta l'equazione di 2° grado per studiare il segno, proprio come abbiamo fatto per la disuguaglianza di 1° grado.
Ricordando che, in questo caso, la grafica sarà a parabola.
Esempio
Risolvi la disuguaglianza x2 - 4x - 4
Per risolvere una disuguaglianza di secondo grado, è necessario trovare valori la cui espressione sul lato sinistro del segno
Innanzitutto, identificare i coefficienti:
a = 1
b = - 1
c = - 6
Noi usiamo il Formula Bhaskara (Δ = b2 - 4ac) e sostituiamo i valori dei coefficienti:
Δ = (- 1)2 - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Continuando con la formula di Bhaskara, abbiamo sostituito nuovamente con i valori dei nostri coefficienti:
x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2
X1 = (1 + 5)/ 2
X1 = 6 / 2
X1 = 3
X2 = (1 - 5) / 2
X1 = - 4 / 2
X1 = - 2
Le radici dell'equazione sono -2 e 3. come la Ildell'equazione di 2° grado è positivo, il suo grafico avrà la concavità rivolta verso l'alto.
Dal grafico osserviamo che i valori che soddisfano la disuguaglianza sono: - 2
Possiamo indicare la soluzione utilizzando la seguente notazione:
Leggi anche:
- Equazione di primo grado
- Equazione di secondo grado
- Sistemi di equazioni
Esercizi
1. (FUVEST 2008) Per raccomandazione medica, una persona deve, per un breve periodo, seguire una dieta che garantisca un minimo giornaliero di 7 milligrammi di vitamina A e 60 microgrammi di vitamina D, nutrendosi esclusivamente di uno speciale yogurt e di una miscela di cereali, alloggiati in pacchi.
Ogni litro di yogurt fornisce 1 milligrammo di vitamina A e 20 microgrammi di vitamina D. Ogni confezione di cereali fornisce 3 milligrammi di vitamina A e 15 microgrammi di vitamina D.
Consumando giornalmente x litri di yogurt e y confezioni di cereali, la persona sarà sicura di seguire la dieta se:
a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3 anni 7 e 20x + 15 anni 60
c) x + 20 a ≥ 7 e 3 x + 15 a ≥ 60
d) x + 20 anni 7 e 3x + 15 anni 60
e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60
Alternativa a: x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60
2. (UFC 2002) Una città è servita da due compagnie telefoniche. L'azienda X addebita un abbonamento mensile di R$ 35,00 più R$ 0,50 per minuto utilizzato. L'azienda Y addebita, al mese, un abbonamento di R$ 26,00 più R$ 0,50 al minuto utilizzato. Dopo quanti minuti di utilizzo il piano dell'azienda X sarà più vantaggioso per i clienti rispetto al piano dell'azienda Y?
26 + 0,65 m > 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m > 35 - 26
0,15 m > 9
m > 9/0.15
m > 60
Dopo 60 minuti, il piano aziendale X è più vantaggioso.
