Il principio fondamentale del conteggio, chiamato anche principio moltiplicativo, viene utilizzato per trovare il numero di possibilità per un evento composto da n fasi. Per questo, i passaggi devono essere successivi e indipendenti.
Se la prima fase dell'evento ha x possibilità e la seconda fase consiste in y possibilità, allora ci sono x. e possibilità.
Pertanto, il principio fondamentale del conteggio è il moltiplicazione delle opzioni date per determinare le possibilità totali.
Questo concetto è importante per l'analisi combinatoria, un'area della matematica che riunisce metodi per risolvere i problemi che comportano il conteggio e quindi è molto utile per indagare le possibilità di determinare la probabilità di fenomeni.
Esempio 1
João alloggia in un hotel e intende visitare il centro storico della città. Dall'hotel ci sono 3 linee della metropolitana che portano al centro commerciale e 4 autobus che collegano il centro commerciale al centro storico.
In quanti modi João può lasciare l'hotel e raggiungere il centro storico attraverso il centro commerciale?
Soluzione: Il diagramma ad albero o albero delle possibilità è utile per analizzare la struttura di un problema e visualizzare il numero di combinazioni.
Si noti come la verifica delle combinazioni è stata effettuata utilizzando il Diagramma ad albero.
Se ci sono 3 possibilità per uscire dall'hotel e raggiungere il centro commerciale, e dal centro commerciale al centro storico abbiamo 4 possibilità, allora il numero totale di possibilità è 12.
Un altro modo per risolvere l'esempio sarebbe il principio fondamentale del conteggio, facendo la moltiplicazione delle possibilità, cioè 3 x 4 = 12.
Esempio 2
Un ristorante ha nel suo menù 2 tipi di antipasti, 3 tipi di secondi e 2 tipi di dessert. Quanti menù si potrebbero comporre per un pasto con un antipasto, un secondo e un dolce?
Soluzione: Utilizzeremo l'albero delle possibilità per comprendere l'impostazione dei menù con antipasto (E), secondo piatto (P) e dolce (S).
Per il principio fondamentale del conteggio si ha: 2 x 3 x 2 = 12. Si potrebbero quindi formare 12 menù con un antipasto, un secondo e un dolce.
esercizi risolti
domanda 1
Ana si stava organizzando per viaggiare e ha messo in valigia 3 pantaloni, 4 camicette e 2 scarpe. Quante combinazioni può formare Ana con un paio di pantaloni, una camicetta e una scarpa?
a) 12 combinazioni
b) 32 combinazioni
c) 24 combinazioni
d) 16 combinazioni
Alternativa corretta: c) 24 combinazioni.
Nota che per ognuna delle 4 camicette, Ana ha 3 opzioni di pantaloni e 2 opzioni di scarpe.
Quindi 4 x 3 x 2 = 24 possibilità.
Così, Ana può formare 24 combinazioni con i pezzi della valigia. Controllare i risultati con l'albero delle possibilità.
Domanda 2
Un insegnante ha elaborato un test con 5 domande e gli studenti hanno dovuto rispondere segnando vero (V) o falso (F) per ciascuna delle domande. In quanti modi diversi si potrebbe rispondere al test?
a) 25
b) 40
c) 24
d) 32
Alternativa corretta: d) 32 possibili risposte.
Ci sono due opzioni di risposta distinte in una sequenza di cinque domande.
Utilizzando il principio fondamentale del conteggio, abbiamo:
2.2.2.2.2 = 32 possibili risposte per il test.
Domanda 3
In quanti modi si può formare un numero a 3 cifre usando 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
a) 200
b) 150
c) 250
d) 100
Alternativa corretta: d) 100.
Il numero formato deve contenere 3 cifre per riempire la posizione di cento, dieci e uno.
Nella prima posizione non possiamo mettere il numero 0, poiché sarebbe come avere un numero con 2 cifre. Quindi per il cento abbiamo opzioni a 5 cifre (1, 2, 3, 4, 5).
Per la seconda posizione, non possiamo ripetere il numero che è stato utilizzato per cento, ma possiamo usare zero, quindi nel dieci abbiamo anche opzioni a 5 cifre.
Poiché ci sono state fornite 6 cifre (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e due che sono state utilizzate in precedenza non possono essere ripetute, quindi per l'unità abbiamo opzioni a 4 cifre.
Quindi 5 x 5 x 4 = 100. Abbiamo 100 modi per scrivere un numero a 3 cifre usando 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Acquisisci maggiori conoscenze con i seguenti testi:
- Analisi combinatoria
- Permutazione
- Probabilità
- Esercizi di analisi combinatoria
- Esercizi di probabilità
