I polinomi sono espressioni algebriche formate da numeri (coefficienti) e lettere (parti letterali). Le lettere di un polinomio rappresentano i valori incogniti dell'espressione.
Esempi
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2sì3
c) 25x2 - 9 anni2
Monomio, Binomio e Trinomio
I polinomi sono costituiti da termini. L'unica operazione tra gli elementi di un termine è la moltiplicazione.
Quando un polinomio ha un solo termine, si dice a monomio.
Esempi
a) 3x
b) 5bc
c) x2sì3z4
le chiamate binomi sono polinomi che hanno solo due monomi (due termini), separati da un'operazione di addizione o sottrazione.
Esempi
a) a2 - B2
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd2
già il trinomi sono polinomi che hanno tre monomi (tre termini), separati da operazioni di addizione o sottrazione.
EsempioS
ascia2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10y
cm3n + m2 + n4
Grado di polinomi
Il grado di un polinomio è dato dagli esponenti della parte letterale.
Per trovare il grado di un polinomio dobbiamo sommare gli esponenti delle lettere che compongono ogni termine. La somma più grande sarà il grado del polinomio.
Esempi
a) 2x3 + si
L'esponente del primo termine è 3 e il secondo termine è 1. Poiché il più grande è 3, il grado del polinomio è 3.
b) 4x2y + 8x3sì3 - xy4
Aggiungiamo gli esponenti di ogni termine:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3sì3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Poiché la somma più grande è 6, il grado del polinomio è 6
Nota: il polinomio nullo è quello che ha tutti i coefficienti uguali a zero. Quando ciò si verifica, il grado del polinomio non è definito.
Operazioni con i polinomi
Vedi sotto esempi di operazioni tra polinomi:
Aggiunta di polinomi
Facciamo questa operazione sommando i coefficienti di termini simili (stessa parte letterale).
(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2a + 8 a - 7 a)
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y
Sottrazione polinomiale
Il segno meno davanti alle parentesi inverte i segni all'interno delle parentesi. Dopo aver rimosso le parentesi, dobbiamo aggiungere termini simili.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Moltiplicazione di polinomi
Nella moltiplicazione dobbiamo moltiplicare termine per termine. Nella moltiplicazione di lettere uguali si ripetono e si sommano gli esponenti.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Divisione di polinomi
Nota: Nella divisione polinomiale usiamo il metodo della chiave. Eseguiamo prima la divisione tra i coefficienti numerici e poi la divisione delle potenze della stessa base. Per fare ciò, mantieni la base e sottrai gli esponenti.
Fattorizzazione polinomiale
Per effettuare il fattorizzazione di polinomi abbiamo i seguenti casi:
Fattore comune nelle prove
ax + bx = x (a + b)
Esempio
4x + 20 = 4 (x + 5)
raggruppamento
ax + bx + ay + per = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Esempio
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Trinomio quadrato perfetto (addizione)
Il2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Esempio
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Trinomio quadrato perfetto (differenza)
Il2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Esempio
X2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Differenza di due quadrati
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Esempio
X2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Cubo Perfetto (Aggiunta)
Il3 + 3°2b+3ab2 + b3 = (a + b)3
Esempio
X3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. X2. 2 + 3. X. 22 + 23 = (x + 2)3
Cubo Perfetto (Differenza)
Il3 - 3°2b+3ab2 - B3 = (a - b)3
Esempio
sì3 - 9 anni2 + 27y - 27 = y3 - 3. sì2. 3 + 3. y. 32 - 33 = (y - 3)3
Leggi anche:
- Prodotti notevoli
- Prodotti degni di nota - Esercizi
- Funzione polinomiale
Esercizi risolti
1) Classifica i seguenti polinomi in monomi, binomi e trinomi:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomio
b) trinomio
c) binomio
2) Indicare il grado dei polinomi:
a) xy3 + 8xy + x2sì
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2K3w6 + 2x
a) grado 4
b) grado 4
c) grado 2
d) grado 11
3) Qual è il valore perimetrale della figura seguente:
Il perimetro della figura si trova sommando tutti i lati.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Trova l'area della figura:
L'area del rettangolo si trova moltiplicando la base per l'altezza.
(2x + 3). (x+1) = 2x2 + 5x + 3
5) Fattorizzare i polinomi
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10 anni + anni2
c) 9 - k2
a) Poiché ci sono fattori comuni, scomporre mettendo in evidenza questi fattori: 2ab (4 + a - 2b)
b) Trinomio quadrato perfetto: (5+y)2
c) Differenza di due quadrati: (3 + k). (3 - k)
Vedi anche: Espressioni algebriche e Esercizi sulle espressioni algebriche
