In matematica, abbiamo alcuni insiemi numerici, come Naturali, Interi e Razionali. I numeri naturali sono formati dai numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Gli interi sono composti dai numeri naturali e dalla loro versione negativa, cioè …, -2, -1, 0, 1, 2, 3... I numeri razionali, invece, sono tutti quei numeri originati da una divisione, ricordando che ogni divisione può essere espressa tramite una frazione, ad esempio 1 ÷ 2 = ½. Possiamo quindi separare i numeri razionali in tre classificazioni:
-
Divisione esatta – 8 ÷ 2 = 4
10 ÷ 5 = 2
9 ÷ 3 = 3
Decimali finiti - 1 ÷ 2 = 0,5
5 ÷ 4 = 1,25
9 ÷ 5 = 1,8
-
Decimo periodico - 3 ÷ 9 = 0,33333...
21 ÷ 99 = 0,21212121...
100 ÷ 999 = 0,100100100...
Tutti i numeri decimali che hanno un numero infinito di posizioni decimali, con una sequenza numerica ripetuta, sono chiamati decima periodica. Il numero che si ripete si chiama l'andamento del tempo. Negli esempi sopra citati, 0,33333..., 0,21212121... e 0.100100100..., i periodi sono rispettivamente 3, 21 e 11.
Ma dato il decimale periodico, sai come trovare la frazione che lo ha originato? Abbiamo un pratico dispositivo che indica rapidamente la frazione la cui divisione ha generato la decima periodica, nota anche come also frazione generatrice. Esaminiamo alcuni casi:
0,444444...
In questo caso, abbiamo un periodo decimale periodico 4 e con la parte intera null, cioè prima della virgola c'è solo 0. Come il nostro periodo ha solo una cifra, dividiamola per 9. La nostra frazione generatrice sarà simile a questa:
0,444444... = l'andamento del tempo = 4
9 9
Nel caso di 0.32332232..., il periodo ha due cifre, quindi, per trovare la tua frazione, divideremo il periodo per 99:
0,323232...= l'andamento del tempo = 32
99 99
E così via.
Vedi un altro esempio: 0, 100100100100...
In quel caso, il periodo è 100, numero formato da tre cifre, quindi dovrebbe essere diviso per 999.
0,10010010 = l'andamento del tempo = 100
999 999
Un altro caso si verifica quando abbiamo un decimale periodico uguale 0,254444... In questa decima periodica, c'è un periodo 4 e una parte non periodica dopo la virgola, il 25. Se consideriamo la parte non periodica, seguita dal periodo, avremo: 254. Da questo valore sottraiamo la parte non periodica: 254 – 25 = 229. Per dividere il 229, dobbiamo analizzare la nostra decima: per ogni cifra del periodo, mettiamo il 9, e per ogni cifra della parte non periodica, la riempiamo con 0. Ottenere quanto segue:
0,254444... = 254 –25 = 229
900 900
Vediamo altri esempi:
0,31252525... = 3125 – 31 = 3094
9900 9900
0,411222... = 4112 – 411 = 3701
9000 9000
0,0291291291... = 0291 – 0 = 291
9990 9990
Infine, abbiamo il caso in cui il numero che compare prima della virgola non è zero, cioè quando c'è una parte intera nel decimale periodico. In questo caso, dobbiamo separare la parte intera dalla parte decimale. Ad esempio, nel caso di 1,4444..., dobbiamo scriverlo come 1 + 0,4444... Trasformiamo la parte decimale in frazione utilizzando il metodo appropriato, proprio come abbiamo fatto nel primo esempio. Guarda:
0,444444... = l'andamento del tempo = 4
9 9
Basta aggiungere questa frazione con l'intera parte:
Perciò, 13/9 è la frazione generatrice di 1,4444...
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
Cogli l'occasione per dare un'occhiata alla nostra video lezione sull'argomento:
