IL frazione generatrice e il rappresentazione frazionaria di una decima periodica. Questa rappresentazione è una strategia importante nella risoluzione di problemi sulle operazioni matematiche di base che coinvolgono decimali periodici. Per trovarlo, possiamo usare tecniche di equazione e un metodo pratico.
Leggi anche: Come risolvere le operazioni con la frazione?
Che cos'è una decima periodica?
Prima di capire cos'è una frazione generatrice, è essenziale capire cos'è un decimale periodico. Ci sono due possibili casi di decime periodiche: il decimale periodico semplice e il decimale periodico composto. Una decima periodica è a numero decimale che ha una parte decimale infinita e periodica.
semplice decima periodica
Il decimale periodico semplice è composto dalla parte intera e dalla parte decimale. IL la parte decimale è la ripetizione del tuo punto, come mostrato negli esempi seguenti.
Esempi:
a) 1.2222...
parte intera → 1
parte decimale → 0,2222…
L'andamento del tempo → 2
b) 3.252525...
parte intera → 3
parte decimale → 0,252525…
L'andamento del tempo → 25
c) 0,8888...
parte intera → 0
parte decimale → 0,8888
L'andamento del tempo → 8
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decima periodica composta
Un decimale periodico composto è un decimale che ha una parte intera, una parte decimale e, nella sua parte decimale, una parte non periodica — noto come l'antiperiodo - e il periodo.
Esempi:
a) 2.0666...
parte intera → 2
parte decimale→ 0,0666…
antiperiodo → 0
L'andamento del tempo → 6
b) 13.518888...
parte intera → 13
parte decimale → 0,51888…
antiperiodo → 51
L'andamento del tempo → 8
c) 0.109090909...
parte intera → 0
parte decimale → 0,10909090
antiperiodo → 1
L'andamento del tempo → 09
Leggi anche: Cosa sono le frazioni equivalenti?
Cos'è la frazione generativa?
la frazione generatrice è la rappresentazione frazionaria del decimale periodico, sia semplice, sia composto. Come suggerisce il nome, la frazione generatrice genera la decima quando noi condividiamo il numeratore per il denominatore della rappresentazione frazionaria.
Esempi:
Passo dopo passo per calcolare la frazione generatrice
Diamo un'occhiata passo passo al decimale periodico semplice e al decimale periodico composto.
decime periodiche semplici
Per trovare la frazione generatrice di un semplice decimale periodico è necessario seguire alcuni passaggi, ovvero:
1° passo: eguaglia il decimale periodico a x.
2° passo: in base al numero di cifre nel periodo, moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per:
10 → se c'è 1 cifra nel periodo;
100 → se ci sono 2 cifre nel periodo;
1000 → se ci sono 3 cifre nel periodo; e così via.
3° passo: calcolare la differenza tra equazione trovato nel passaggio 2 e l'equazione uguale a x nel passaggio 1 e risolvere l'equazione.
Esempio 1:
Trova la frazione generatrice del decimale 1.444...
x = 1,4444...
Il periodo è 4 e, poiché c'è una sola cifra nel periodo, lo moltiplicheremo per 10 di entrambi i lati:
10x = 1.444… · 10
10x = 14,444...
10x - x = 14,444.. – 0,444…
9x = 14
x = 14/9
Quindi, la frazione generatrice della decima è:
Esempio 2:
Trova la frazione generatrice del decimale periodico 3.252525...
x = 3,252525…
Il periodo è 25 e, poiché ha 2 cifre, lo moltiplicheremo per 100.
100x = 3,252525… · 100
100x = 325.252525...
Ora calcolando il differenza tra 100x e x:
100x - x = 325.2525... - 3.252525...
99x = 322
x = 322/99
Quindi, la frazione generatrice della decima è:
decima periodica composta
Quando si compone il decimale periodico, ciò che cambia è che abbiamo aggiunto un nuovo passaggio nella risoluzione per trovare la frazione generatrice.
1° passo: eguaglia il decimale periodico a x.
2° passo: trasformare il decimale periodico composto in un decimale periodico semplice moltiplicando per:
10, se c'è 1 cifra nell'antiperiodo;
100 se ci sono 2 cifre nell'antiperiodo; e così via.
3° passo: in base al numero di cifre nel periodo, moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per:
10 → se c'è 1 cifra nel periodo;
100 → se ci sono 2 cifre nel periodo;
1000 → se ci sono 3 cifre nel periodo; e così via.
4° passo: calcolare la differenza tra l'equazione trovata nel passaggio 3 e nel passaggio 2 e risolvere l'equazione.
Esempio:
Trova la frazione generatrice della decima 5.0323232...
x = 5,0323232...
Nota che c'è 1 cifra nell'antiperiodo, che è 0. Lo moltiplichiamo per 10 per renderlo un decimale periodico.
10x = 5,0323232... · 10
10x = 50,332232...
Ora identifichiamo il periodo, che è 32. Poiché ci sono 2 cifre, moltiplicheremo la decima per 100.
1000x = 5032.323232...
Ora calcoliamo la differenza tra 1000x e 10x:
1000x - 10x = 5032.323232... - 50.323232...
990x = 4982
x=4982/990
Quindi, la frazione generatrice è:
Vedi anche: Come si forma un numero misto?
metodo pratico
Usiamo il metodo pratico per facilitare il processo di ricerca della frazione generatrice del decimale periodico. Esaminiamo due casi diversi: quando il decimale periodico è semplice e quando è composto.
Metodo pratico per semplici decime periodiche
In un semplice decimale periodico, il metodo pratico è:
1° passo: scrivere la somma tra la parte intera e la parte decimale del decimale periodico;
2° passo: trasformare la parte decimale in frazione, come segue: il numeratore sarà sempre il punto e il denominatore sarà:
9 → se c'è 1 cifra nel periodo;
99 → se ci sono 2 cifre nel periodo;
999 → se ci sono 3 cifre nel periodo; e così via.
3° passo: Somma la parte intera con la frazione trovata.
Esempio:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
Trasformando 0,888... in frazione, abbiamo numeratore uguale a 8, poiché 8 è il periodo della frazione, e denominatore uguale a 9, poiché c'è solo 1 cifra nel periodo, quindi:
Metodo pratico per le decime composte periodiche
Esempio:
Troveremo la frazione generatrice della decima 4,1252525...
Innanzitutto identifichiamo l'intera parte, l'antiperiodo e il periodo della decima composta:
Parte intera: 4
Antiperiodo: 1
Periodo: 25
Il numeratore della decima composta è la differenza tra il numero formato dalle cifre della parte intera, antiperiodo e periodo, e il numero formato dalla parte intera e antiperiodo.
4125 – 41 =4084
Al denominatore, per ogni numero del periodo, aggiungiamo a 9 e poi, per ogni numero nella parte non periodica, a 0.
il periodo è 25, quindi aggiungiamo 99; l'antidolorificoítutto è 1, quindi aggiungiamo 0, quindi il denominatore é990.
La frazione generatrice della decima è:
Esercizi risolti
Domanda 1 - Quando si esegue la divisione tra due numeri naturali, è stato trovato il decimale periodico 1.353535... La frazione generatrice di questo decimale è:
Risoluzione
Alternativa C.
Faremo x = 1,353535…
Moltiplicando per 100 su entrambi i lati, dobbiamo:
100 x = 135,3535…
Ora calcoliamo la differenza tra 100x e x.
Domanda 2 - Se x = 0,151515… e y = 0,242424…, la divisione y: x è uguale a?
Risoluzione
Alternativa A.
Trovando le frazioni generatrici con il metodo pratico, dobbiamo:
x = 0,151515…
La decima ha un periodo uguale a 15, quindi il suo numeratore è 15 e il denominatore è 99.
Con lo stesso ragionamento per y = 0,242424…, il numeratore è 24 e il denominatore è 99.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
