Progressione aritmetica, nota anche come P. A, è un tipo di sequenza numerica studiata dalla Matematica, dove ogni termine o elemento a partire dal secondo è uguale alla somma del termine precedente con una costante.
In questo tipo di sequenza numerica il numero si chiama sempre rapporto (rappresentato dalla lettera r) e si ottiene dalla differenza di un termine della sequenza dal precedente.
Quindi, partendo dal secondo elemento della sequenza, i numeri risulteranno tutti dalla somma della costante con il valore dell'elemento precedente.
Ad esempio, la sequenza 5,7,9,11,13,15,17 può essere caratterizzata come una progressione aritmetica, in quanto i suoi elementi sono formati dalla somma del suo predecessore con la costante 2.
Tipi di progressioni aritmetiche
Per comprendere meglio questo concetto, di seguito sono riportati esempi di quelli che sono considerati tipi di progressioni aritmetiche.
- (5,5,5,5,5...an) PA finita di rapporto 0
- (4,7,10,13,16...an...) PA infinita di rapporto 3
- (70,60,50,40,30...an) PA finita di rapporto -10
Nei tre esempi si osserva che per calcolare il rapporto BP è necessario calcolare la differenza tra uno dei termini e il termine che lo precede, come mostrato nell'immagine sottostante:
Formule del termine generale e somma di una progressione aritmetica
In tal senso, la formula utilizzata che caratterizza il termine generale di un AP è rappresentata come segue:
Dove abbiamo:
an = Termine generale
a₁ = Primo termine della sequenza.
n = Numero di termini in P.A. o posizione del termine numerico in P.A.
r = ragione
Tuttavia, se abbiamo una P.A finita, per sommare i suoi termini (elementi) arriveremo alla seguente formula per sommare gli n elementi di una P.A finita.
Dove abbiamo:
Sn = Somma dei primi n termini della PA
a₁ = Primo termine della PA
an = Occupa l'ennesima posizione nella sequenza
n = posizione a termine
Classificazione delle progressioni aritmetiche
Per quanto riguarda le classificazioni, le progressioni aritmetiche possono essere crescenti, decrescenti e costanti.
Una PA sarà in crescita quando il suo rapporto (r) è positivo, cioè maggiore di zero (r > 0). La sequenza numerica aumenterà quando ogni termine del secondo è maggiore del predecessore. Es: (1, 3, 5, 7, ...) è un P.A crescente del rapporto 2.
La PA sarà decrescente se il suo rapporto (r) è negativo, cioè minore di zero (r < 0). La sequenza numerica sarà decrescente quando ogni termine del secondo è più piccolo del predecessore. Es.: (15, 10, 5, 0, -5 ...) è una P.A decrescente di rapporto – 5.
La PA sarà costante quando il suo rapporto è nullo, cioè è uguale a zero (r = 0). Tutti i tuoi termini saranno gli stessi. Es: (2, 2, 2, ...) è una costante P.A con rapporto nullo.
Progressione aritmetica e progressione geometrica
Le progressioni sono studiate dalla matematica per definire numeri sequenziali reali, tuttavia, esiste una differenza tra progressione aritmetica e progressione geometrica.
Mentre la progressione aritmetica presenta la sequenza di numeri in cui le differenze numeriche tra un termine e il suo antecedente è costante, in progressione geometrica la costante deriva dal quoziente di questo termine e dal suo predecessore.
Vedi anche il significato di progressione geometrica.