prismi sono figure tridimensionali formate da due basi congruenti e parallele, le basi, a loro volta, sono formate da poligoni convessi. Le altre facce chiamate facce laterali sono formate da parallelogrammi. Per determinare l'area di un prisma, è necessario eseguire il suo pianificazione e quindi calcolare l'area della figura piatta.
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Progettare un prisma
L'idea della pianificazione è quella di trasformare una figura tridimensionale in a figura bidimensionale. In pratica sarebbe l'equivalente di tagliare i bordi del prisma. Di seguito è riportato un esempio di pianificazione di un prisma triangolare.
Lo stesso procedimento può essere adottato per ogni prisma, tuttavia, nota che man mano che aumentiamo il numero di lati dei poligoni di base, il compito diventa sempre più difficile. Per questo motivo, faremo delle generalizzazioni basate sulla pianificazione di questo poligono.
Calcolo dell'area laterale
Osservando l'immagine del prisma triangolare, si ha che i parallelogrammi ABFC, ABFD e ACDE sono i
facce laterali. Nota che il le facce laterali di un prisma saranno sempre parallelogrammi indipendentemente dal numero di lati dei poligoni di base, ciò accade perché sono paralleli e congruenti.Guardando la figura del prisma triangolare, vediamo anche che abbiamo tre facce laterali. Ciò è dovuto al numero di lati del poligono di base, cioè se le basi del prisma sono un quadrilatero, avremo quattro facce laterali, se le basi sono un pentagono avremo cinque facce laterali, e così via. Così: il numero di lati del poligono di base influenza il numero di facce laterali del prisma.
quindi, il area laterale (Al) di qualsiasi prisma è data dall'area di una faccia laterale moltiplicata per il numero di facce laterali, cioè l'area del parallelogramma moltiplicata per il numero di lati della faccia.
ILl = (base · altezza) · numero di lati della faccia
Esempio
Calcola l'area laterale di un prisma esagonale regolare con bordo di base pari a 3 cm e altezza pari a 11 cm.
Il prisma in questione è rappresentato da:
L'area laterale viene quindi calcolata dall'area del rettangolo per il numero di lati del poligono di base, che è 6, quindi:
ILl = (base · altezza) · numero di lati della faccia
ILl = (3 · 11) · 6
ILl = 198 cm2
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Calcolo dell'area di base
IL area di base (ILB) di un prisma dipende dal poligono che lo compone. Poiché in un prisma abbiamo due facce parallele e congruenti, l'area di base è data dalla somma delle aree dei poligoni paralleli, cioè il doppio dell'area del poligono.
ILB = 2 · area del poligono
Leggi anche:Aree a figure piatte
Esempio
Calcola l'area di base di un prisma esagonale regolare con bordo di base pari a 3 cm e altezza pari a 11 cm.
La base di questo prisma è un esagono regolare e questo, visto dall'alto, assomiglia a:
Nota che il triangoli formati all'interno dell'esagono sono equilateri, quindi l'area dell'esagono è data da sei volte il area del triangolo equilatero.
Tuttavia, nota che, nel prisma, abbiamo due esagoni, quindi l'area di base è il doppio dell'area del poligono.
Calcolo della superficie totale total
IL superficie totale (AT) di un prisma è data dalla somma dell'area laterale (ILl) con l'area di base (ILB).
ILT = Al + AB
Esempio
Calcola l'area totale di un prisma esagonale regolare con bordo di base pari a 3 cm e altezza pari a 11 cm.
Dagli esempi precedenti, abbiamo che Al = 198 cm2 e ilB = 27√3 cm2. Pertanto, l'area totale è data da:
esercizi risolti
domanda 1 – Un capannone ha la forma di un prisma che si basa su un trapezio, come mostrato in figura.
Vuoi dipingere questo capannone ed è noto che il prezzo della vernice è di 20 reais al metro quadrato. Quanto costerà dipingere questo capannone? (Dato: √2 = 1,4)
Soluzione
Inizialmente, determiniamo l'area del capannone. La sua base è un trapezio, quindi:
Pertanto, l'area di base è:
ILB = 2 ·Atrapezio
ILB = 2 ·10
ILB = 20 m2
L'area laterale in rosso è un rettangolo e abbiamo il fondo, quindi quest'area è:
ILV = 2 · 4· 14
ILV= 112 m2
Anche l'area in blu è un rettangolo, ma non abbiamo la sua base. Usando il teorema di Pitagora nel triangolo formato dal trapezio abbiamo:
X2 = 22 + 22
X2 = 8
x = 2√2
Quindi l'area del rettangolo in blu è:
ILIL = 2 ·14·2√2
ILIL = 54√2 m2
Pertanto, l'area laterale del prisma è uguale a:
ILl = 112 + 54√2
ILl = 112 + 75,6
ILl = 187,6 m2
E quindi l'area totale di questo prisma è:
ILT= 20 + 187,6
ILT= 207,6 m2
Poiché il prezzo della vernice è di 20 reais al metro quadrato, l'importo speso per dipingere il capannone è:
20 ·207,6 = 4,152 reais
Rispondere: L'importo speso per dipingere il capannone è di R$ 4.152,00
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
