IL Ellisse è una cifra piatta classificata come a conico, perché lei può essere ottenuto dalla sezione di un piano in un cono. Trovare una figura piatta con una forma ellittica è abbastanza comune nella vita di tutti i giorni. È stato ampiamente studiato per spiegare il movimento dei pianeti intorno al Sole, poiché le orbite di queste stelle sono ellissi.
IL geometria analitica è l'area della matematica che cerca di descrivere algebricamente forme geometriche, tra cui, l'ellisse è studiata in profondità in geometria analitica, essendo possibile descriverlo attraverso un'equazione che tenga conto dei suoi elementi. Gli elementi principali dell'ellisse sono:
asse maggiore
asse minore
distanza focale
fuochi F1 e F2
Definiamo l'ellisse come l'insieme dei punti in cui la somma della distanza di questi punti dal fuoco F1 e mettere a fuoco F2 è sempre costante.
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Cos'è un'ellisse?
Conosciamo come un'ellisse il figura piana formata dalla sezione tra il piano e la cono, nel seguente modo:
Per costruire l'ellisse, è bisogno di conoscere il tuo due focus, F1 e F2, e anche la lunghezza dell'asse maggiore, che è la linea che unisce le estremità dell'ellisse, nell'immagine sottostante, rappresentata da A1 IL2.
La lunghezza dell'asse maggiore è pari a 2a, quindi l'ellisse è la curva formata da tutti i punti Pno dove la somma della distanza dal punto al primo fuoco (dPnoF1) con la distanza dal punto al secondo fuoco (dPnoF2) è sempre costante e uguale a 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1IL2 = 2°
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Elementi di ellisse
Per comprendere appieno la formazione dell'ellisse, è necessario conoscere ciascuno dei suoi elementi. Sono i fuochi, il centro, l'asse maggiore e l'asse minore. Sulla base di essi, è possibile tracciare importanti relazioni nell'ellisse.
Il centro dell'ellisse è rappresentato dal punto O.
Già i punti F1 e F2 rappresentano i fuochi dell'ellisse.
i punti A1 e il2 sono estremità dell'asse orizzontale dell'ellisse, e punti B points1 e B2 sono estremità del suo asse verticale.
La distanza tra B1 e B2 è uguale a 2b (lunghezza dell'ellisse sull'asse minore).
La distanza tra A1 e il2 è uguale a 2a (lunghezza dell'ellisse sull'asse maggiore).
La lunghezza focale tra F1 e F2 è uguale a 2c.
Osservazione: È importante rendersi conto che il F1B1 ha una lunghezza pari alla metà dell'asse orizzontale, cioè dF1B1 = un. Quindi, è anche possibile percepire un'importante relazione pitagorica analizzando il triangolo A1OB1. Nota che è un triangolo rettangolo. Pertanto, possiamo applicare il teorema di Pitagora.
a² = b² + c²
C'è un'altra possibilità per l'ellisse, che è quando l'asse più lungo è l'asse verticale. In questo caso, gli elementi rimangono gli stessi.
Anche in questo caso possiamo applicare il teorema di Pitagora, ottenendo quanto segue:
b² = a² + c²
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Equazione dell'ellisse
Lo studio dell'ellisse analiticamente viene svolto nel piano cartesiano. La geometria analitica cerca di descrivere, attraverso equazioni, le figure del geometria piana. Pertanto, è possibile descrivere la figura attraverso la cosiddetta equazione dell'ellisse.
Innanzitutto, faremo esempi di un'ellisse i cui fuochi sono contenuti o sull'asse x o sull'asse y, cioè l'origine dell'ellisse coincide con l'origine del piano cartesiano.
In questo caso, ci sono due possibilità, quando l'asse maggiore è l'asse verticale e quando l'asse maggiore è l'asse orizzontale:
Osservazione: I fuochi sono sempre contenuti nell'asse maggiore, quindi se a > b, i fuochi sono contenuti nell'asse orizzontale, e se b > a, sono contenuti nell'asse verticale.
Il centro dell'ellisse non è sempre all'origine del piano cartesiano, che non impedisce lo sviluppo e l'adattamento dell'equazione dell'ellisse per questo caso. Quando l'ellisse è sfalsata dall'origine O( x0, sì0), la sua equazione può essere descritta da:
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Eccentricità ellittica
Conosciamo come eccentricità ilMotivo tra la lunghezza c e la metà della lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse. Supponendo che l'asse più lungo sia orizzontale, l'eccentricità è calcolata da:
Se l'ellisse è sull'asse verticale, l'eccentricità sarà calcolata da:
IL l'eccentricità ci dice quanto sia piatta l'ellisse, maggiore è il valore di eccentricità, più vicina a un cerchio sarà l'ellisse. Come l'asse maggiore ha sempre una lunghezza maggiore della focale, quindi di conseguenza c < a, così questa divisione è sempre un numero compreso tra 0 e 1.
ellisse
Poiché l'ellisse ha una forma arrotondata, per calcolarne l'area usiamo le costanti π e anche la misura di metà della lunghezza orizzontale e metà della lunghezza verticale, quindi, Dobbiamo:
A = abπ
A: lunghezza dell'ellisse
a: metà della lunghezza dell'asse orizzontale
b: metà della lunghezza dell'asse verticale
Esempio:
Calcola l'area di un'ellisse, con i fuochi sull'asse orizzontale, il cui asse più lungo misura 50 cm, e il più piccolo, 36 cm.
Poiché l'asse maggiore è orizzontale, i fuochi sono contenuti in esso. Pertanto, dobbiamo:
2° = 50
a = 50/2
a = 25
E sull'asse verticale, dobbiamo:
2b = 36
b = 36/2
b = 18
Quindi l'area dell'ellisse è data da:
A = abπ
A = 25 · 18π
A = 450π cm²
esercizi risolti
Domanda 1 - Quando si analizza l'ellisse di seguito, l'alternativa che contiene la sua lunghezza focale è:
A) 5
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
Risoluzione
Alternativa E.
La lunghezza focale è pari a 2c e, inoltre, a = 8 e b = 6. Poiché i fuochi sono contenuti sull'asse x, allora dobbiamo:
Poiché la lunghezza focale è pari a 2c, allora 2c = 8√3.
Domanda 2 - (IFB) Considerando un'ellisse con centro nell'origine, fuochi su uno degli assi coordinati e passanti per i punti (5, 0) e (0, 13), determinare i fuochi dell'ellisse.
a) (13, 0) e (-13, 0)
b) (0, 13) e (0, -13)
c) (12, 0) e (-12, 0)
d) (0, 12) e (0, -12)
e) (5, 0) e (-5, 0)
Risoluzione
Alternativa D
Nota che passa per il punto (0, 13), che indica che b = 13, e anche che passa per il punto (5.0) a = 5. Poiché b > a, dobbiamo:
b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 – 25 = c²
144 = c²
c = 144
c = 12
Poiché b è maggiore, il focus è sull'asse verticale, cioè (0, 12) e (0, -12).
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
