I concetti di multipli e divisori di un numero naturale si estendono all'insieme di numeri interi. Quando si tratta di multipli e divisori, si fa riferimento a insiemi numerici che soddisfano alcune condizioni. I multipli si trovano dopo la moltiplicazione per numeri interi e i divisori sono numeri divisibili per un certo numero.
Per questo motivo troveremo sottoinsiemi degli interi, poiché gli elementi degli insiemi dei multipli e dei divisori sono elementi dell'insieme degli interi. Per capire cosa sono i numeri primi, è necessario comprendere il concetto di divisori.
multipli di un numero
essere Il e B due numeri interi noti, il numero Il è multiplo di B se e solo se c'è un intero K tale che Il = B · K. Così, il insieme di multipli nel Ilsi ottiene moltiplicandoIlper tutti i numeri interi, i risultati di questi moltiplicazioni sono i multipli di Il.
Ad esempio, elenchiamo i primi 12 multipli di 2. Per questo dobbiamo moltiplicare il numero 2 per i primi 12 numeri interi, in questo modo:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Pertanto, multipli di 2 sono:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Nota che abbiamo elencato solo i primi 12 numeri, ma avremmo potuto elencare tutti quelli necessari, poiché l'elenco dei multipli è dato moltiplicando un numero per tutti i numeri interi. Così, l'insieme dei multipli è infinito.
Per verificare se un numero è o meno multiplo di un altro, dobbiamo trovare un numero intero in modo che la moltiplicazione tra di essi risulti nel primo numero. Guarda gli esempi:
→ Il numero 49 è un multiplo di 7, perché esiste un numero intero che, moltiplicato per 7, risulta 49.
49 = 7 · 7
→ Il numero 324 è un multiplo di 3, in quanto esiste un numero intero che, moltiplicato per 3, risulta 324.
324 = 3 · 108
→ Il numero 523 no è un multiplo di 2 perché non c'è un intero che, moltiplicato per 2, dà 523.
523 = 2 · ?
Leggi anche: Proprietà di moltiplicazione che facilitano il calcolo mentale
Multipli di 4
Come abbiamo visto, per determinare i multipli del numero 4, dobbiamo moltiplicare il numero 4 per numeri interi. Così:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Pertanto, multipli di 4 sono:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Multipli di 5
Analogamente, abbiamo multipli di 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Quindi i multipli di 5 sono: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … }
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un numero divisore
essere Il e B due numeri interi noti, diciamo B è divisore di Il se il numero B è multiplo di Il, questo è il divisione nel mezzo B e Il è esatto (deve andarsene riposo 0).
Vedi alcuni esempi:
→ 22 è un multiplo di 2, quindi 2 è un divisore di 22.
→ 63 è un multiplo di 3, quindi 3 è un divisore di 63.
→ 121 non è un multiplo di 10, quindi 10 non è un divisore di 121.
Per elencare i divisori di un numero, dobbiamo cercare i numeri che lo dividono. Guarda:
– Elencare i divisori di 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Nota che i numeri nell'elenco dei divisori sono sempre divisibili per il numero in questione e che il valore più alto che appare in questo elenco è il numero stesso., poiché nessun numero maggiore di esso sarà divisibile per esso.
Ad esempio, nei divisori di 30, il valore più grande in questo elenco è 30 stesso, poiché nessun numero maggiore di 30 sarà divisibile per esso. Così:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Per saperne di più: Curiosità sulla divisione dei numeri naturali
Proprietà di multipli e divisori
Queste proprietà sono legate a divisione tra due numeri interi. Nota che quando un intero è multiplo di un altro, è anche divisibile per quell'altro numero.
Considera il algoritmo di divisione in modo da poterne comprendere meglio le proprietà.
N = d · q + r, dove q e r sono numeri interi.
ricordati che no è chiamato di dividendo;d, per divisore;q, per quoziente; e r, a proposito.
→ Proprietà 1: La differenza tra il dividendo e il resto (N – r) è un multiplo del divisore, oppure il numero d è un divisore di (N – r).
→ Proprietà 2: (N – r + d) è un multiplo di d, cioè il numero d è un divisore di (N – r + d).
Vedi l'esempio:
– Eseguendo la divisione di 525 per 8, si ottiene il quoziente q = 65 e il resto r = 5. Quindi abbiamo il dividendo N = 525 e il divisore d = 8. Vedi che le proprietà sono soddisfatte perché (525 – 5 + 8) = 528 è divisibile per 8 e:
528 = 8 · 66
numeri primi
voi numeri primi sono quelli che hanno come divisore nel loro elenco solo il numero 1 e il numero stesso. Per verificare se un numero è primo o meno, uno dei metodi più banali è elencare i divisori di quel numero. Se compaiono numeri maggiori di 1 e il numero in questione, non è primo.
→ Verificare quali sono i numeri primi compresi tra 2 e 20. Per questo, elenchiamo i divisori di tutti questi numeri tra 2 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Quindi i numeri primi compresi tra 2 e 20 sono:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19}
Nota che l'insieme proviene da alcuni dei primi numeri primi, questo elenco potrebbe continuare. Nota che più grande è il numero, più difficile diventa dire se è primo o meno.
Leggi di più: Numeri irrazionali: quelli che non possono essere rappresentati in frazioni
esercizi risolti
domanda 1 – (UMC-SP) Il numero di elementi nell'insieme dei divisori primi di 60 è:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Soluzione
Alternativa A
Elencheremo prima i divisori di 60 e poi vedremo quali sono primi.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Di questi numeri abbiamo che sono primi:
{2, 3, 5}
Pertanto, il numero dei divisori primi di 60 è 3.
Domanda 2 – Scrivi tutti i numeri naturali minori di 100 e multipli di 15.
Soluzione
Sappiamo che i multipli di 15 sono il risultato della moltiplicazione del numero 15 per tutti gli interi. Poiché l'esercizio chiede di scrivere i numeri naturali minori di 100 e che sono multipli di 15, dobbiamo moltiplicare 15 per tutti i numeri maggiori di zero, fino a trovare il multiplo più grande prima di 100, così:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Pertanto, i numeri naturali minori di 100 e multipli di 15 sono:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
Domanda 3 – Qual è il più grande multiplo di 5 tra 100 e 1001?
Soluzione
Per determinare il più grande multiplo di 5 tra 100 e 1001, è sufficiente identificare il primo multiplo di 5 al contrario.
1001 non è un multiplo di 5, poiché non esiste un numero intero che, moltiplicato per 5, risulti 1001.
1000 è un multiplo di 5, poiché 1000 = 5 · 200.
Pertanto, il più grande multiplo di 5, compreso tra 100 e 1001, è 1000.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
