piramidi sono figure geometriche che compaiono di frequente, soprattutto in architettura. le piramidi sono Solidi geometrici costruito nello spazio basato su a poligono nel piano e un punto al di fuori di tale piano. Trattandosi di una figura tridimensionale, è possibile calcolarne il volume, inoltre, possiamo progettarlo e quindi trovarne l'area.
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Cos'è la piramide?
Considera un poligono convexo contenuto in un piano e un punto H che non appartiene al piano. Definiamo il piramide come l'unione di tutti i vertici del poligono convesso nel punto H.
Elementi di una piramide
Considera la piramide qui sotto.
• Base della piramide: ABCDEF poligono.
• vertice della piramide: punto H
• Facce laterali: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF e FHA, che sono i triangoli formato dall'unione del vertice della piramide con i vertici del poligono.
• Bordi della base: AB, BC, CD, DE, EF e FA, che sono i lati della base.
• Bordi laterali: AH, BH, CH, DH, EH e FH, che sono i segmenti delle facce laterali.
• Altezza della piramide: h, che è la distanza tra l'apice della piramide e la base.
Stabiliamo le notazioni per alcuni elementi:
• A area di base sarà indicato con AB.
• L'area di una faccia laterale sarà rappresentato da AF.
• Viene chiamata la somma delle aree del viso zona laterale, e questo è indicato con Al.
Pertanto, l'area totale della piramide è data dalla somma dell'area di base (AB) con l'area laterale (Al) ed è indicato con AT, cioè:
ILT = AB + Al
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Tipi di piramidi
Nello stesso modo in cui chiamiamo il prismi in base al poligono di base, chiamiamo anche le piramidi seguendo questa idea. Ad esempio, se una piramide ha a triangolo, lei è chiamata piramide a base triangolare, ora, se una piramide si basa su a quadrilatero, è chiamato piramide a base quadrangolare, e così via.
Anche le piramidi sono divise in due gruppi: dritte e oblique. A piramididritto sono così chiamati quando la proiezione di vertice coincide con il centro della base, altrimenti si dicono obliqui. Vedere i seguenti esempi:
Se in una piramide retta la base è un poligono regolare, allora la piramide sarà regolare. In questo tipo, la distanza dall'apice al centro della base è l'altezza della piramide.
Il segmento che unisce l'apice della piramide con il punto medio di uno spigolo di base si chiama a apotema della piramide, in questo caso GI. Il segmento che unisce il centro della base al punto medio di un bordo della base si chiama is apotema della base, in questo caso CIAO.
Nota i triangoli GHI e GHF e nota che sono triangoli rettangoli, quindi, in esso il teorema di Pitagora è valido. Così:
(GI)2 = (GH)2 + (Ciao)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Area della piramide
IL area piramidale è data dalla somma delle aree laterali e dell'area di base, ovvero:
ILT = AB + Al
L'inesistenza di una formula specifica è dovuta al fatto che le piramidi hanno basi diverse. Nell'espressione precedente, si noti che l'area totale AT dipende dal valore dell'area di base. Vedi alcuni esempi.
• Esempio
Calcola l'area totale di una piramide retta, la cui base è un quadrato di lato 10 m e l'altezza di una faccia laterale è pari a 13 m.
Soluzione
Inizialmente disegneremo la piramide in base ai dati dell'esercizio.
Nota che possiamo calcolare l'area della faccia con i dati forniti usando la formula dell'area del triangolo.
Poiché abbiamo quattro facce, l'area laterale è pari a 65 · 4 = 260 m2.
Ora, dobbiamo calcolare l'area della base che è un quadrato, quindi:
Pertanto, l'area della piramide è la somma dell'area laterale e dell'area di base.
ILT = AB + Al
ILT = 100+ 260
ILT = 360 m2
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Volume piramidale
Consideriamo una piramide di altezza h.
Il volume della piramide è dato dalla terza parte del prodotto dell'area di base (AB) e altezza (h):
• Esempio
(Enem) Artur e Bernardo sono andati in campeggio e hanno preso ognuno una tenda. Entrambi hanno la forma di una piramide a base quadrata, con bordi laterali congruenti. La tenda di Bernardo ha un'altezza e bordi laterali superiori del 10% rispetto a quella di Arthur. Quindi, il rapporto tra i volumi delle tende di Bernardo e di Arthur, in quest'ordine, è:
Il) 1,1
B) 1,21
ç) 1,331
d) 1,4641
e) 1,5
Soluzione
Inizialmente, calcoleremo il volume della tenda di Arthur, indicata qui con VIL. Poiché la base della piramide è un quadrato, la sua area è la misura del lato quadrato, rappresentiamolo con L2.
Ora determiniamo il volume della tenda di Bernardo, rappresentato da VB. Innanzitutto, nota che l'altezza e i bordi sono superiori del 10% rispetto alla tenda di Arthur, quindi dobbiamo:
HB = h + 10% di h
HB = h + 0,1 · h
HB = 1,1 · h
Allo stesso modo per l'area di base:
ILB = (1,1)2 · L2
Pertanto, l'area della tenda di Bernardo è:
Poiché l'obiettivo dell'esercizio è trovare il rapporto tra i volumi delle tende di Bernardo e di Arthur, dobbiamo:
Renditi conto che possiamo "tagliare" la frazione L2 · h su 3, in quanto rappresenta lo stesso numero.
Do alternativo
di Robson Luiz
Insegnante di matematica